Главная > Математика > Вероятность и достоверность
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IX. ВЕРОЯТНОСТЬ СТАНОВИТСЯ ДОСТОВЕРНОСТЬЮ

52. Достоверность и ошибка. Проблема ошибки занимала философов со времен глубокой древности. По тонкому замечанию великого греческого философа, человек, который ошибается, является вдвойне незнающим: он не знает точного ответа и он не знает, что он его не знает. Именно это второе незнание опасно, так как внутренняя уверенность ошибающегося, что он дает правильный ответ, совершенно такова, как и уверенность того, кто знает и не ошибается. Все мы знаем, что подвержены ошибкам и что мы иной раз ошибаемся вполне чистосердечно. Это должно заставить сделать вывод, что имеется отличная от нуля вероятность того, что лицо, добросовестность которого вне подозрений, ошибается, давая нам некую справку. К этому пункту мы вернемся в следующем параграфе, но сначала мы хотим остановиться на тех случаях, когда мы абсолютно уверены, в точном смысле этого слова, в справедливости известных истин.

Будем различать две категории истин: истины математические и истины практические; сначала займемся первыми.

Банальным и постоянно упоминаемым примером математической истины является то, что 2 плюс 2 равно 4, на что некоторые возражают, что это — словесное определение, а не истина. В действительности 4 определяется как как так что в самом деле необходимо краткое доказательство, чтобы установить, что 2 плюс 2 равно 4. И самые сложные математические доказательства, как и это простенькое доказательство, являются набором силлогизмов, каждый из которых весьма прост. Следовательно, дело только в том, чтобы проверить, не вкралась ли ошибка в такой набор силлогизмов, иной раз очень сложный. Чтобы ограничиться тривиальным случаем, — сложение тридцати шестизначных чисел, произведенное хорошим счетоводом, столь же просто, как и то, что 2 плюс 2 равно 4, однако

иногда оно содержит ошибку, даже если его повторить дважды.

Единственная причина, в силу которой мы считаем достоверными хорошо доказанные математические факты, например, что поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга, состоит в том, что доказательства повторялись и проверялись большим числом лиц, иной раз тысячами, а то и миллионами, как в случае доказательств, восходящих к Евклиду. Вероятность того, что все эти лица допустили одну и ту же ошибку, очевидно, настолько ничтожна, что наша абсолютная уверенность оправдана. В наши дни математик, открывший новую теорему, публикует ее в издании, которое выпускается в нескольких сотнях экземпляров. Имеется, стало быть, немало шансов за то, что несколько читателей заинтересуются новым результатом и проверят его доказательство, или даже придумают новое и более простое. Именно так по истечении известного времени новые результаты входят в состав результатов достоверных и их начинают рассматривать как достоверные. Однако весьма возможно, я сказал бы даже — вероятно, что некоторые частные, не очень интересные результаты не привлекли ничьего внимания, и быть может, около века спят в пыли библиотек, и что среди них есть и неверные. Но если даже такое обстоятельство будет установлено, оно ничуть не поколеблет нашей уверенности в достоверности результатов, общепринятых у математиков и воспроизведенных в многочисленных учебниках, так как они подверглись многочисленным проверкам.

Случай сложных и длинных сложений заслуживает особого упоминания, так как при крайней теоретической простоте здесь возникают некоторые практические осложнения. Если речь идет о сложении 50 восьмизначных чисел, то дело прежде всего в том, чтобы знать, в какой форме нам даны эти числа. Если это числа, списанные счетоводом в его гроссбух с различных счетных документов (таких, как чековые книжки, долговые уведомления и т. п.), то надо сначала поставить вопрос, правильно ли воспроизведены эти числа. Вместе с тем, если другому счетоводу поручено проверять первого, нужно знать, воспользуется ли проверяющий числами, списанными первым, или в свою очередь сам перепишет их с документов. Расхождение может получиться или из-за ошибки при переписывании, или из-за ошибки при сложении. В случае совладении можно было бы

вычислить вероятность того, что это совпадение вызвано двумя различными ошибками при сложении или переписывании, — ошибками, которые в точности взаимно погасились.

С другой стороны, если оба счетовода выполняют действия над одними и теми же числами, выписанными одно под другим, не могло ли получиться так, что из-за плохо выписанной или неправильно помещенной в столбец цифры они оба допустили одинаковую ошибку? Поэтому, если желательна полная уверенность, то благоразумно будет потребовать, чтобы сложение было проделано по меньшей мере тремя счетоводами, причем каждый из них должен сам переписать для себя числа с оригиналов, каковые по определению считаются надежными. Таким образом, этот случай — промежуточный между теоретической достоверностью математической теоремы и практической достоверностью, о которой сейчас пойдет речь.

Никто из нас не мог бы жить, если бы не считал практически достоверным известное число сведений о себе самом, о своем окружении, своем доме, о городе, где он живет, и т. д. Можно возражать против таких, в некотором роде субъективных, достоверностей: выпадение памяти, помешательство, обманчивые воспоминания, навеянные снами, галлюцинации и т. п. — могут дать повод для сложной дискуссии. Вот почему предпочтительнее ограничиться достоверностями, которые можно назвать объективными и которые являются общими для всех жителей какой-то страны, по крайней мере для тех, кто имеет минимальное образование и пребывает в здравом рассудке. Такие достоверности могут быть различного рода; главнейшие — это географические или персональные, то есть относящиеся к существованию определенных городов в стране, а также в других странах, чужих и далеких, и к некоторым так или иначе прославившимся личностям, о которых известно, что одни из них живы, а другие недавно скончались. Эти достоверности основаны на большом числе согласующихся свидетельств, полученных из газет или по радио, хотя хорошо известно, что такая информация не избавлена от ошибок. Но мы твердо знаем, что верим в существование столиц, глав государств и премьер-министров, знаменитостей искусства или спорта не в силу повторения случайных ошибок. Конечно, кое в ком могу зародиться сомнения, если сообщается о политических событиях, скрыть которые некоторые государства, возможно, заинтересованы, — особенно если известно, что эти

государства располагают средствами для этого. Но сомнение — это не то же, что ошибка, и наша уверенность остается абсолютной, если она подтверждается совпадением свободных и не зависящих друг от друга информаций. Единственное ограничение, которое надо оговорить, — то, что наша уверенность относится ко вчерашнему дню, потому что сегодня утром могла произойти катастрофа, о которой мы пока не знаем. Но неведение, которое мы сознаем, не ошибка. Уточненная таким образом наша практическая достоверность равноценна теоретической достоверности математиков. Мы столь же уверены в существовании Лондона, как и в свойствах конических сечений.

53. Вероятности, практически пренебрежимые. Как мы уже говорили, на практике приходится пренебрегать небольшими вероятностями, которые, однако, не столь исключительно малы, как те вероятности, которые абсолютно пренебрежимы. Например, мы легко доверяем значительную сумму сидящему за окошком служащему и терпеливо ожидаем, пока он оформит различные документы, прежде чем выдаст нам квитанцию или расписку. В этом случае мы не только выявляем доверие его честности, что естественно, но и пренебрегаем небольшой вероятностью того, что он вдруг скоропостижно скончается. Так же обстоит дело, когда вверяешь свою жизнь шоферу машины, общественной или частной. Во многих других случаях приходится практически действовать так, как если бы людям было обеспечено если не бессмертие, то уж заведомо прожить ближайшие несколько часов и даже дней, по крайней мере, если они молоды и хорошо себя чувствуют, да к тому же мы уверены, что они не готовятся к чему-то рискованному.

Но эти примеры, которые легко было бы умножить, не должны рассматриваться как примеры превращения вероятности в достоверность. Потому что, хотя в таких случаях мы действуем с полной уверенностью, мы все же знаем, что ее у нас нет. Если бы нам предложили поразмыслить, мы были бы готовы признать, что подвергаемся риску обмануться. Дело не изменится, если мы добавим, что этот риск мы считаем настолько малым, что не только разумно на неге пойти, но и решение отказаться от того, чтобы подвергаться риску при подобной малой вероятности, было бы абсурдным, потому что практически сделало бы невозможным наше повседневное существование.

54. Требования философов и ученых. Итак, вполне естественно, что мы оставляем в стороне эти соображения, заимствованные из житейской практики, и попытаемся сформулировать проблему так, чтобы это было приемлемо для философа или ученого, привыкшего говорить точным языком. Имеем ли мы право употребить термин достоверность, когда нам известно, что вероятность ошибки, хотя и крайне мала, но не равна строго нулю? Тут мы возвращаемся к вероятностям, пренебрежимым и в сверхкосмическом масштабе — имеются в виду такие вероятности, которые выражаются степенью десяти с отрицательным показателем, превосходящим (по абсолютному значению) миллион и даже, быть может, миллиарды миллиардов. Таковы те вероятности, которые встречаются в кинетической теории газов и в термодинамике. Такова вероятность чуда Джинса (вода помещается в раскаленную печь и превращается в лед) или дактилографического чуда (чисто случайное и точное воспроизведение тома в тысячу страниц или даже целой библиотеки).

Само собой разумеется, что прежде всего нам надо принять все необходимые предосторожности, чтобы при испытании, определенный результат которого мы объявили невозможным, не было фальши. Если возникают подозрения, их можно, как правило, устранить, усложняя испытания. Например, если мы подозреваем, что дактилограф, заявивший нам о своем незнании английского языка, выучил наизусть трагедию Шекспира, то можно указать десять малоизвестных книг на разных языках с латинским алфавитом и потребовать, чтобы отпечатанный на машинке текст воспроизвел каждую из этих книг, если брать буквы текста через 10, начиная с первой, затем со второй, и т. д.

Еще проще было бы потребовать, чтобы этот случайный текст оказался текстом газет, которые завтра появятся в таких-то европейских и американских столицах.

Мы знаем, как вычислить вероятность подобного предприятия, когда известно общее число букв. Стало быть, если мы утверждаем, что дактилографическое чудо невозможно, и добавляем, что такая невозможность для нас достоверна, мы сознательно и принципиально пренебрегаем ничтожной вероятностью. Иные могут посчитать, что мы не имеем права это делать. Сознаюсь, может показаться, что и меня надо отнести к ним, так как в предыдущих публикациях я пользовался оборотом речи некоторых

физиков, в частности Джинса, а именно, что нарушение принципа Карно-Клаузиуса не является строго невозможным, а только в высшей степени невероятным.

Теперь же я смотрю на дело так, что надо отбросить подобное словоупотребление, ибо оно, по моему мнению, может создать у читателя путаницу в представлениях, и только применение слова достоверность может рассеять эту путаницу. Пожалуй, надо согласиться с одним математиком, что эта достоверность не совсем того же рода, что достоверность определенных математических теорем (например, теоремы о поверхности шара), — теорем, доказательства которых были проверены после того, как они были впервые даны, миллионами людей. Правда, можно и тут возразить математику, что он считает столь же достоверными значительно более поздние и сложные теоремы, доказательство которых проверено довольно малым числом лиц, и что в этом последнем случае заведомо имеется малая вероятность ошибки. Эту вероятность, безусловно, трудно оценить, но нам ничто не дает права считать ее меньшей, чем вероятность дактилографического чуда.

Но если для полноты, пожалуй, необходимо сказать об этой точке зрения математика, то надо все же указать, что как в случае чуда Джинса, так и в случае дактилографического чуда мы имеем дело не с чисто теоретическими построениями, а с явлениями, наблюдаемыми в условиях, уточнить которые нетрудно. Эти уточнения условий опыта многим покажутся направленными на то, чтобы устранить всякое подозрение в обмане (мы будем говорить об обмане, если осуществляется не тот опыт, который был описан), но наша уверенность в том, что опыт не может быть успешным, такова же и даже больше, чем наша уверенность в делах практического порядка. Быть может, и тут можно было бы указать несколько исключений, весьма немногочисленных, касающихся событий прошлого, относительно которых все одного мнения, например, что Наполеон I жил и умер. Но можно быть уверенным в том, что по поводу других исторических событий могут возникать сомнения, если не ограничиваться общим указанием на эти события, а уточнять обстоятельства и даты. Значительно большими становятся вероятности ошибок, как только мы переходим к суждениям относительно современных явлений, например, о существовании удаленного от нас города, или такого-то главы государства, или какой-то знаменитости, так как вероятность

кончины или катаклизма, как бы мала она ни была, громадна по сравнению с вероятностями, которыми мы решили пренебрегать.

55. Объективные характеристики достоверности. Впрочем, можно отвести многие из возражений типа тех, которые только что выдвигались в связи с положением об объективном характере достоверности того, что дактилографическое чудо невозможно. Действительно, уверенность в этом с равной силой овладевает людьми, культурный уровень которых достаточен для того, чтобы понять суть вопроса. Следовательно, она является всеобщей, чего нельзя сказать относительно достоверностей порядка исторического или географического: если француз не может усомниться в существовании Наполеона, не так обстоит дело с человеком, живущим очень далеко от Франции и не знающим ее истории, как не знает истории его страны француз. Только некоторые астрономические явления одинаково наблюдаются всеми людьми, да и они значительно видоизменяются для жителей полярных районов.

В порядке уточнения можно указать на то, что большинство практических достоверностей, которые можно считать объективными в том смысле, что они являются общими для многих людей, обязаны этим тому обстоятельству, что они относятся к явлениям весьма распространенным, которым приписывается известное значение. Но если бы мы не обладали свидетельствами других людей, у нас не было бы никаких оснований верить в эти явления. Наоборот, если дело идет о дактилографическом чуде, то основной опыт можно описать в различных видах, доступных и тому, кто ничего не знает о какой бы то ни было пишущей машинке. Этот опыт заведомо можно было бы видоизменить так, чтобы он был доступен для народов не с алфавитной, а с идеографической письменностью. Для всякого способного к размышлению человека успех опыта, состоящего в чисто случайном повторении одного из литературных шедевров, достоверно невозможен. Даже если бы речь шла о простом сонете, вполне понятно, что нельзя согласиться с таким упрощенным рассуждением: нет причин для того, чтобы первая случайная выборка не дала первой буквы сонета; так же обстоит дело со второй; затем с третьей буквой и т. д. вплоть до последней Именно такая повторная удача представляется невозможной уже для простого сонета из 600—700 букв, тем

более для тома в миллион букв. С той же достоверностью, с какой мы отрицаем возможность дактилографического чуда, мы позволяем себе отрицать и возможность термодинамического чуда: то ли того, чтобы случайно в небольшом объеме кислород воздуха отделился от азота, так чтобы в открытом сосуде оказался литр чистого кислорода, то ли того, чтобы значительное количество тепла перешло от холодного тела к более теплому (чудо Джинса).

Некоторые критики, быть может, будут защищать чистоту терминологии, противясь употреблению слова достоверность там, где математик устанавливает крайнюю малость вероятности противоположного утверждения. Другие критики, напротив, быть может, будут упрекать нас в том, что слишком много значения придается вопросу словоупотребления, и скажут нам, что в конце концов безразлично, назвать ли какое-то явление в высшей степени невероятным или назвать как само явление, так и его наблюдение достоверно невозможным. Нам же кажется, что далеко не безразлично пользоваться или не пользоваться вполне отчетливой терминологией, тогда как выражение «в высшей степени невероятный» и любое ему подобное может внести путаницу и способствовать распространению ложных представлений.

Когда мы утверждаем объективную достоверность, это значит, что если заслуживающее доверия лицо заявило бы нам, что наблюдалось явление, которое мы объявили заведомо невозможным, то мы были бы убеждены в том, что налицо обман. Что касается наших возможностей раскрыть этот обман, они, очевидно, будут зависеть от средств, которыми мы будем фактически располагать для проведения углубленного обследования условий, при которых, согласно показаниям, произошло данное явление.

56. Проблема жизни. В заключение мне представляется необходимым сказать несколько слов об одном вопросе, который не относится к предмету этой книги, но все же полное умолчание о нем могло бы вызвать упреки некоторых читателей.

Я имею в виду проблему появления жизни на нашей планете (и, возможно, на других планетах вселенной) и вероятность того, что ее появление случайно. Эта проблема представляется мне выходящей за рамки нашей темы именно потому, что слишком сложна оценка порядка величины, соответствующей указанной вероятности. Как раз в

связи с последним пунктом мне хотелось бы дать некоторые разъяснения.

Когда мы вычисляли вероятность чисто случайного воспроизведения напечатанного литературного произведения, однотомного или многотомного, наши читатели, конечно, не упускали из виду того, что такое произведение явилось когда-то плодом деятельности человеческого мозга. Следовательно, этот мозг куда сложнее, чем отдельный плод его деятельности. Нельзя ли тогда сделать вывод, что вероятность создания этого мозга слепыми силами случая куда меньше, чем вероятность дактилографического чуда?

Очевидно, так обстояло бы дело, если бы вопрос состоял в том, чтобы выяснить, можно ли действительно создать человеческое существо, комбинируя наудачу известное количество простых веществ. Но проблема возникновения жизни ведь ставится иначе. Все сходятся на том, что живые существа являются итогом длительного развития, начиная с простейших организмов, и в этом развитии сказываются определенные свойства живой материи, которые не позволяют утверждать, что оно происходило по законам случая. Некоторые из этих свойств живой материи имеются и у определенных форм материи неживой, таких, как кристаллы. Не представляется возможным применить законы исчисления вероятностей к явлению образования кристалла из более или менее перенасыщенного раствора. По крайней мере, нет возможности рассматривать такую вероятностную задачу без учета некоторых свойств материи, свойств, которые облегчают образование кристаллов и которые мы обязаны установить. Как мне кажется, мы должны считать правдоподобным, что образование простейших живых организмов и их развитие тоже обусловлены такими элементарными свойствами материи, которые нам полностью не известны, но наличие которых мы все же должны допустить.

Подобные же замечания можно было бы сделать по поводу возможных попыток применить исчисление вероятностей к космогоническим проблемам. По-видимому, и в этой области изложенные нами результаты в настоящее время большой пользы не принесут.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>