Главная > Математика > Вероятность и достоверность
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава I. ВЕРОЯТНОЕ И ДОСТОВЕРНОЕ

1. Повседневная речь. Мы все пользуемся словами «вероятный» и «достоверный» и, по-видимому, как правило, нет расхождений относительно их значения. Однако небесполезно уточнить это значение в той мере, насколько это возможно.

Среди тех событий, которые мы характеризуем как маловероятные, или как достаточно вероятные, или как очень вероятные, можно различать три категории: те, которые относятся к нашему собственному поведению; те, которые относятся к поведению других людей, и те, которые относятся к явлениям природы. Впрочем, мы увидим, что границы между этими тремя категориями иной раз неопределенны.

«Весьма вероятно, что я выйду завтра утром»; когда я высказываю это замечание, то я в общей форме резюмирую ряд более или менее сложных размышлений, из которых одни относятся к поведению различных лиц, а другие — к явлениям природы. Например, я решил выйти, если только тот друг, который предупредил меня о своем возможном посещении, не придет, чтобы повидаться со мной; или я решил выйти, если только не пойдет снег, — в случае, когда имеем декабрь, — или же, если не разразится сильная гроза, при условии, что мы имеем июль. Как в одном, так и в другом случае вероятность моего выхода зависит от той вероятности, которую я приписываю поступку другого лица или же тому или иному метеорологическому явлению. В следующих параграфах мы обсудим, как и при каких условиях эти различные вероятности могут быть выражены численно. Однако надо учитывать помимо этого другую вероятность, которой хорошо себя чувствующие люди склонны пренебрегать, когда они намечают какие-либо краткосрочные планы: я не смогу выйти, если я тяжело заболею и, вполне очевидно, если я умру. Эти две гипотезы должны всегда

подразумеваться, когда речь идет о вероятностях, относящихся и живому существу.

С указанными оговорками можно считать, что если верят в мою искренность, то оттенкам, с которыми я буду говорить о вероятности моего завтрашнего выхода, будет придано известное значение: я могу охарактеризовать этот выход как маловероятный, достаточно вероятный, вероятный, очень вероятный, крайне вероятный. Было бы интересно исследовать, каковы численные значения вероятности, которые, для определенного лица, соответствуют этим различным оттенкам.

Понятию вероятного противостоит понятие достоверного. С большой осторожностью следует утверждать, что я безусловно выполню такой-то поступок, даже в самом близком будущем, так как мне могут помешать различные обстоятельства, не зависящие от моей воли, не говоря уже о состоянии моего здоровья или о моей смерти. Но если речь идет о факте отрицательного порядка, например, что я «заведомо не буду присутствовать завтра на такой-то церемонии», то такое утверждение будет принято как практически точное теми, кто мне доверяет и кто знает, что мой характер не переменчив.

Так же обстоит дело с различными утверждениями относительно поведения других человеческих существ, особенно если речь идет об общем поведении значительного числа людей. Например, если завтра в некоей большой стране состоятся общие выборы, то все лица, которые несколько в курсе политического положения, сойдутся на мнении о достоверности того, что такая-то партия получит по меньшей мере 30 мест, а другая партия не менее 200 мест. Такие достоверности не могут не подтвердиться, если только не произойдет какой-нибудь катаклизм в природе, что помешает выборам, или катаклизм социальный, вроде государственного переворота, что глубочайшим образом изменит условия голосования или доброкачественность результатов.

Подобно этому, если я утверждаю, что в наших широтах является достоверным восход Солнца завтра, то никто не будет этого оспаривать. Однако нужно уточнить смысл этого утверждения. Если я под этим понимаю, что я безусловно увижу, как встает Солнце, то я пренебрегаю тем случаем, что меня может не быть уже в живых. Если я понимаю под

этим, что во Франции будут люди, которые увидят восход Солнца, то я не ошибусь, если только космическая катастрофа не уничтожит значительную часть земного шара или даже весь земной шар целиком.

Имеются другие случаи, когда утверждение относится к событию, которое должно произойти через несколько мгновений; его достоверность ограничена только той оговоркой, что ему не помешает немедленная катастрофа. Например, я подбрасываю камень на один метр над землей и утверждаю, что он достигнет земли в течение доли секунды; я рискую ошибиться, если я нахожусь в лавке, расположенной в цокольном этаже, и если грузовик туда ворвется в то мгновение, когда я швырнул камень.

Таковы первые размышления, на которые пас наводит обычное использование слов повседневной речи: вероятный и достоверный. Теперь мы попытаемся численно уточнить эти качественные указания; известно, что знание людей заслуживает имени Науки в зависимости от того, какую роль играет в нем число.

2. Оценка вероятности. Когда я в обществе двух друзей, знающих мои обычные выражения, говорю, что мало вероятно, или вероятно, или очень вероятно, что я завтра выйду, эти два друга могут, в зависимости от их характера, в зависимости от того, какую погоду они предвидят (в том случае, когда они считают, что я выйду при хорошей погоде), истолковать мое утверждение достаточно различным образом; один из них будет считать более вероятным, что я выйду, а другой будет считать более вероятным, что я не выйду. Стало быть, если они имеют склонность к игре, они могут побиться об заклад, и каждый из них обяжется уплатить известную сумму другому, если тот окажется прав, причем один из них будет утверждать, что я выйду, а другой — что я не выйду.

Иной раз говорят с явным преувеличением, что из двух бьющихся об заклад один дурак, а другой жулик. При этом подразумевается, что один из двух лучше осведомлен, чем другой, и почти твердо знает, состоится ли то, относительно чего заключено пари, или не состоится. В действительности

часто бывает, что каждый из бьющихся об заклад имеет основание полагать, что именно он лучше осведомлен, и потому каждый из них считает заключение пари выгодным, но это не должно означать, что он заслуживает того, чтобы его рассматривали как жулика, если он прав, или как дурака, если он ошибается.

Приведенный нами пример выявляет субъективный характер вероятности. Когда я говорю, что я, вероятно, завтра выйду, я приписываю, сознательно или бессознательно, известную вероятность событию, которое можно обозначить А: я выйду завтра. Но мой друг Павел, слушая меня и учитывая те сведения, которыми он может обладать (например, в метеорологии), может приписать событию А вероятность отличную от а мой друг Петр припишет А вероятность отличную от и от Из того пари, которое заключают Павел и Петр, можно сделать вывод, что больше чем и что меньше чем Было бы трудно извлечь аналогичное указание относительно пользуясь тем же самым методом пари, так как, если я ставлю значительную сумму, заключая пари на то, выйду я или нет, то само пари может повлиять на мое решение и, следовательно, изменить вероятность Так же могло бы обстоять дело, если бы пари заключались относительно результатов выборов, когда избирателей сравнительно мало и они не лишены чувствительности к соблазнам наживы. В другом месте я указываю, впрочем, как, используя метод пари, можно получить приближенные оценки достаточно сложных вероятностей.

3. Общее определение субъективных вероятностей. Когда человек ставит себе задачу оценить вероятность события А, он учитывает, с одной стороны, природу события другой стороны, — все, что он знает относительно различных возможностей, которые могут благоприятствовать или не благоприятствовать осуществлению А. Мы можем вместе с Кейнсом обозначить через К совокупность тех сведений, которые учитываются при оценке вероятности.

Таким образом, эта вероятность может быть обозначена через что означает вероятность события А при

наличии совокупности сведений К, которая непременно заключена в некотором человеческом мозгу. Если два человека обладают по отношению к событию А в точности одинаковой совокупностью сведений К, то значения вероятностей для этих двух людей будут одни и те же. Однако может случиться, что для одного и того же человека совокупность сведений К с течением времени видоизменяется и станет вероятность также изменится, и ее надо будет записать как

Это обозначение Кейнса несколько усложнено, но оно имеет преимущество постоянно напоминать нам о том, что вероятность не существует отвлеченно, а только по отношению к определенному человеческому мозгу, то есть относительно некоторой совокупности сведений Впрочем, может случиться, что в эту совокупность сведений входят некоторые вероятности, относящиеся к событиям, от которых может зависеть А. Такие вероятности сами должны быть оценены с учетом некоторой совокупности сведений, которая может со временем меняться.

Например, в том случае, когда один из моих друзей задается вопросом, выйду ли я завтра, и знает, что мое решение зависит отчасти от погоды, совокупность сведений К содержит, в частности, те вероятности, которые мой друг приписывает различным возможным завтра состояниям погоды; эта совокупность К может измениться, если он узнает новую метеосводку или если он сам понаблюдает за направлением и силой ветра и т. п. Этот простой пример показывает, насколько сложны те задачи, которые можно поставить в связи с определением вероятности вероятности, которая в частном случае может быть равна единице, то есть быть равносильной достоверности. В действительности все научные и человеческие проблемы могут быть поставлены в таком виде; теоретиков же почти исключительно занимали такие задачи, в которых значение легко определить

4. Некоторые более сложные проблемы. Имеется, однако, категория более сложных задач, о которых следует сказать несколько слов. Это те задачи, для которых совокупность сведений К содержит несколько случайных элементов, то есть элементов, в свою очередь зависящих от вероятности. Чтобы дать простой пример, возьмем колоду из 52 карт и,

разложив ее на столе, выберем наугад 32 карты. Эти 32 карты составят колоду 3, весьма отличную от обычной колоды в 32 карты, но мы все же можем пользоваться этой колодой 3, точный состав которой мы не знаем, и поставить относительно нее различные вероятностные задачи. Например, мы вытягиваем из 3 наугад одну карту, замечаем ее, снова помещаем в колоду, которую тасуем, и вытаскиваем наугад вторую карту. Мы можем это повторять большое число раз и поставить вопрос, какова вероятность того, что в тысяче выборок будет такое-то число бубновых, червовых, пиковых или трефовых карт. Ясно, что ответ на такой вопрос зависит от состава 3, которого мы не знаем, но о котором нам известно, что 32 карты этой колоды получены случайной выборкой из 52 карт, содержащих 13 бубновых, 13 червовых, 13 пиковых и 13 трефовых карт. Такова наша совокупность сведений К-

Итак, ответ на поставленный вопрос не может быть простым, но в принципе тут должны будут появиться вероятностные коэффициенты. Хотя этот вопрос достаточно частного характера, ответ на него может быть интересен, несмотря на свою относительную неточность.

Например, можно утверждать, что крайне вероятно при 1000 последовательных выборок по одной карте из 3 получить больше чем четыре бубны; чтобы дело обстояло иначе, необходимо, чтобы 3 не имела ни одной бубны, а это крайне мало вероятно

5. Случай неполных сведений. Надо также упомянуть о том случае, когда наличные сведения неполны и недостаточны, так что значение вероятности является весьма неопределенным. Это то, что имеет место в действительности при долгосрочных прогнозах погоды, поскольку наши сведения в метеорологии не позволяют делать надежные предсказания. Однако статистика, использующая наблюдения за много лет, позволяет, зная только дату, указать с известной точностью вероятности для различных возможностей. Например, известны температуры, которые отмечались в течение долгого периода в Париже, или, точнее, на метеорологической станции определенного парижского района. Если принять гипотезу постоянства климата, отсюда можно вывести вероятности того, что средняя (или максимальная, или минимальная) температура в Париже в ближайшее 1 января будет ниже — 10°, будет между — 10 и —5°, будет между

и 0° между и 5°, между 5 и 10°, выше 10°. Само собой разумеется, что когда подойдут последние дни декабря, сведения, которые будут даны различными метеостанциями, позволят улучшить нашу оценку этих вероятностей.

6. Случай, когда имеются ошибочные сведения. Наконец, надо сказать о случае значительно более важном, даже если его считать достаточно редким. Это тот случай, когда совокупность сведений К, входящая в содержит погрешности. Вероятность А тогда, очевидно, также ошибочна, и это является особенно тягостным, если ошибочная вероятность оказывается равной единице, то есть совпадает с достоверностью.

Перед нами не что иное, как общая проблема истинности и ошибочности, о которой много рассуждали философы. Не нашей задачей является изложение здесь философской стороны проблемы (см. главу 9); мы ограничимся практической точкой зрения: единственное рекомендуемое каждому решение — это сделать все возможное, чтобы не обмануться и не быть обманутым.

Если, например, я беру колоду из 52 карт вместо колоды из 32 карт, то предсказания, которые я могу сделать относительно характера наудачу извлеченных из этой колоды карт, будут, очевидно, ложными [21. При колоде в 32 карты я могу утверждать с достаточно малыми шансами ошибиться, что при извлечении 80 карт я вытяну более 20 фигур; а при колоде в 52 карты такая выборка далеко не является невозможной, но она также далеко не очень вероятна.

Моя ошибка будет еще большей, если я имею дело с ловким фокусником, который, взяв у меня из рук мою колоду в 32 карты, сумеет выбросить на стол другую, припрятанную им колоду, в которой все 32 карты были бы одинаковы, например, только червовые короли или только семерки пик. Тогда ясно, что фокусник может предложить мне пари, которое я проиграю, если он убедит меня самому выбрать наудачу карту из фальшивой колоды, состав которой известен ему одному.

Итак, следует еще и еще раз подчеркнуть то, что все заключения, которые могут быть сделаны при исчислении вероятностей, всегда должны подчиняться подразумевающемуся ограничению: надо допустить, что условия опыта или опытов не изменились то ли в силу мошенничества, то ли неожиданным и неизвестным нам образом.

Сравнительно благоприятным случаем является тот, когда случайное обстоятельство только исключает эксперимент, например, облако мешает астроному наблюдать затмение или прохождение звезды через меридиан. Испытание тогда попросту отменяется, все происходит так, как если бы астроном оставался дома, а не наблюдал. Но если плохой шутник помещает перед объективом очень тонкую призму, которая вызывает легкое отклонение световых лучей, мы имеем гораздо более серьезный случай, так как результат наблюдения может быть испорчен ошибкой, причина которой останется неизвестной; если эта ошибка очень мала, то можно будет построить сложные теории, чтобы объяснить ее причину.

Таким образом, весьма важно провести различие между неполной совокупностью сведений К и совокупностью К, которая частично ошибочна. В теории вероятности неполноту сведений надо считать нормальным явлением; можно даже утверждать, что если бы были известны все обстоятельства изучаемого явления, то для вероятности не было бы места, а наше знание было бы достоверным. Такая точка зрения является, однако, теоретической, так как не видно, как можно точно знать все движения руки, бросающей кости или тасующей карты

Только в том случае, когда это ловкая рука фокусника, который может подчинить своей воле движение кости и порядок, в котором ложатся карты (быть может, впрочем, после того, как он подменил кость или пометил карты), надо отказаться от применения исчисления вероятностей, так как перестает быть верной неявно принятая гипотеза, что шесть граней кости имеют одинаковые шансы выпасть и что все карты имеют одинаковые шансы занять определенное место в колоде.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>