Главная > Математика > Вероятность и достоверность
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IV. ДИФФУЗИЯ ГАЗОВ И ПРИНЦИП ЭВОЛЮЦИИ

24. Кинетическая теория газов. Д. Бернулли создал кинетическую теорию газов еще в XVIII веке, но только во второй половине XIX века Максвелл, а затем Больцман уточнили эту теорию, дали методы расчета и сумели вывести из простых допущений основные свойства газов. В начале XX века наука сделала еще один шаг: молекулярная гипотеза перестала быть гипотезой, превратившись в физическую реальность, особенно благодаря знаменитым работам Ж. Перрэна Более того, методы, связанные с исчислением вероятностей, позволили не только вывести известные свойства, но и открыть сначала новые свойства, а затем и такие теории, как теория квант, квантовая механика и волновая механика, которые полностью обновили физику.

Отправным пунктом всего этого продвижения явилось представление о массе газа как о совокупности весьма большого числа молекул, находящихся в беспрерывном движении, причем каждая из молекул в течение каждой секунды испытывает большое число ударов то ли о стенки сосуда, содержащего данную массу газа, то ли о другие молекулы. Именно эти удары создают давление газа на стенку сосуда — то давление, которое, будучи приложено к поршню, позволяет привести в движение машину.

Скорости молекул тем больше, чем выше температура газа. Если отсчитывать эту температуру от абсолютного нуля Цельсия), она пропорциональна среднему значению квадратов скоростей молекул, умноженному на массу молекулы. Отсюда заключаем, что при одной и той же температуре, если взяты различные газы, квадрат средней скорости обратно пропорционален массе молекулы. Например, поскольку масса молекулы кислорода примерно в 16 раз больше массы молекулы водорода, средняя скорость молекулы водорода будет при одной и той же температуре в

четыре раза превышать среднюю скорость молекулы кислорода. И действительно, эта средняя скорость при обычной температуре составляет для кислорода около 450 метров в секунду, а для водорода — 1800 метров в секунду. А так как при сравнительно большой плотности газа (при атмосферном давлении и обычной температуре) средний свободный пробег (то есть расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями) весьма незначителен, мы приходим к заключению, что каждая молекула испытывает огромное число ударов в течение каждой секунды. Каждое соударение двух молекул вообще вызывает изменение скоростей обеих молекул (сумма квадратов этих скоростей остается неизменной в силу закона сохранения энергии). Именно этот механизм вызывает весьма быстрое изменение распределения скоростей при смешении газов с различными температурами, так что температура смеси становится за короткое время равномерной, а распределение скоростей — следующим закону, открытому Максвеллом и затем подтвержденному согласованностью своих следствий с экспериментальными фактами.

Этот закон распределения скоростей был доказан Максвеллом, который опирался на не очевидную гипотезу о том, что вероятности значений проекции скорости на две взаимно перпендикулярные оси являются независимыми. Однако Больцман, дав строгое, не зависящее от этой гипотезы доказательство закона Максвелла, тем самым доказал и справедливость самой гипотезы.

25. Смешение газов. Мы не можем привести здесь математические формулы кинетической теории и, тем более, формулы статистической механики — обобщения этих кинетических теорий, принадлежащего Гиббсу. Но некоторые

простые результаты требуют лишь очень элементарных арифметических расчетов.

Рассмотрим два одинаковых сосуда, содержащих два различных газа под атмосферным давлением и при одинаковой температуре. Эти два сосуда соединены трубкой, перекрытой краном. Мы открываем кран, — что произойдет? Опыт показывает, что по истечении сравнительно короткого времени — не более чем через несколько часов (если только трубка не слишком узка) — каждый из двух сосудов будет содержать смесь обоих газов, — смесь, которая в обоих сосудах окажется однородной и одинаковой. И такое состояние, раз установившись, будет сохраняться неопределенно долго, причем экспериментально нельзя будет заметить малейшей неоднородности.

Объяснение этого факта с точки зрения кинетической тёории довольно просто: движение каждой молекулы в силу бесчисленных испытываемых ею толчков следует рассматривать как совершенно беспорядочное, то есть подчиненное случаю (и именно случай в любое мгновение навязывает закон распределения скоростей Максвелла; этот закон применим не только к совокупности скоростей различных молекул в данный момент, но и к совокупности последовательных скоростей одной и той же молекулы в течение определенного периода при условии, что учитывается продолжительность промежутков, в течение которых наблюдается каждая из этих скоростей). Следовательно, по истечении промежутка времени, достаточно долгого по сравнению с промежутком между двумя соударениями (промежутком, который значительно меньше одной миллионной секунды), для любой молекулы вероятности очутиться в любом из сосудов (сосуды предполагаются равными) равны. Допустим, что наши сосуды литровые и что газы находятся при обычной температуре и под атмосферным давлением; тогда число молекул каждого газа будет около Если мы хотим узнать состав смеси, находящейся в одном из сосудов, нужно представить себе, что для каждой молекулы осуществляется случайная выборка и молекула оказывается справа или слева, в зависимости от того, выпал ли орел или выпала решка (или чет и нечет, и т. п.).

Мы знаем, что в таких условиях вероятное число молекул каждого сорта в каждом сосуде равно половине 1022 плюс минус некоторое отклонение, закон которого нам известен.

Действительно, мы должны принять здесь в качестве единицы отклонения корень квадратный из вероятного числа, то есть число, меньшее чем а вероятность отклонения, превышающего в пять раз единицу отклонения, меньше одной десятимиллиардной. Вероятности отклонений, превышающих единицу отклонения в 10 либо во 100 раз, были бы равны соответственно то есть числам необычайно малым. Но отклонение, превышающее в 10 раз единичное, равно а так как имеется молекул, его доля соответствует дроби , то есть одной десятимиллиардной от общего числа молекул. Крайне невероятно, чтобы неоднородность была столь значительной, стало быть, понятно, что ее нельзя выявить экспериментально, потому что самые точные методы, которыми мы располагаем, не позволяют определить долю газа в смеси с точностью до одной десятимиллиардной. Для этого следовало бы, имея примерно один грамм газа, определить разницу в весе в одну десятимиллионную миллиграмма. Определить эту разницу было бы почти столь же трудно, если бы она была в 10 раз больше, а в этом случае вероятность ее возникновения была бы меньше чем , и мы докажем, что такая вероятность абсолютно пренебрежима.

26. Флуктуации в растворах. Ученые пришли к выводу, что свойства растворов подобны свойствам газов и что молекулы растворенного вещества ведут себя, как молекулы газа. Если раствор весьма слаб, число этих молекул, оставаясь весьма большим, сможет стать все же таким, что возможные флуктуации состава становятся наблюдаемыми. Например, если число молекул на литр раствора в миллион раз меньше, чем для газа, то единица отклонения будет меньше только в тысячу раз, и флуктуация, соответствующая некоторому кратному единицы отклонения, тоже будет в тысячу раз меньше, так что вместо миллиардных долей получим миллионные, а это уже близко к тому, что можно наблюдать.

Именно таким образом, с помощью кинетической теории и исчисления вероятностей, можно учесть явления опалесценции, которые происходят в некоторых растворах вблизи критической точки. За подробностями мы отсылаем читателя к уже цитированной литературе.

Если крайне малая, но все же еще наблюдаемая в микроскоп твердая частица находится во взвешенном состоянии в жидкости, содержащей весьма большое число молекул в состоянии движения, то эти молекулы будут ударяться о частицу много раз в секунду. Эти удары происходят случайно и в среднем должны взаимно компенсироваться, то есть среднее алгебраическое проекций количеств движения на какую-либо ось должно равняться нулю. Однако должны быть отклонения от этой нулевой средней, и эти беспорядочные отклонения вызывают смещения частицы и сообщают ей беспорядочное движение, которое называют броуновским, так как Броун первый наблюдал его. Изучение броуновского движения является одним из самых интересных приложений исчисления вероятностей и было предметом многочисленных работ. Здесь нет возможности указать их все.

27. Выравнивание температур. Мы уже сказали, что при соприкосновении двух газов с различными температурами их смесь (предполагается, что она находится в закрытом сосуде) в короткий срок принимает одну и ту же температуру, а скорости молекул распределяются согласно закону Максвелла.

Когда эта одинаковая температура установилась, она сохраняется без изменений, а это означает, что закон Максвелла, верный для совокупности скоростей всех молекул, равным образом верен и для тех молекул, что в данный момент заполняют малый объем, например, кубик со стороной в один сантиметр или даже в один миллиметр. Но это значит, что самые быстрые молекулы (их можно также назвать самыми теплыми) равномерно распределены между различными сантиметровыми кубиками смеси. Разумеется, эта равномерность лишь приближенная, но из-за весьма большого числа молекул отклонения относительно крайне малы и их нельзя наблюдать экспериментально.

Такое выравнивание температур происходит не только в газах, но и в жидких и твердых телах. Когда налицо два тела разных температур, тепло передается излучением от

более теплого тела более холодному, так что первое охлаждается, а второе нагревается. Это явление постоянно осуществляется в большом масштабе между Солнцем и Землей: Солнце медленно остывает, а Земля подогревалась бы, если бы она в свою очередь не остывала вследствие ночного излучения.

Сади Карно первый, благодаря гениальной догадке, понял фундаментальное значение для термодинамики и, в частности, для теории паровых машин этого основного факта естественного и постоянного выравнивания температур. Принцип Карно, уточненный Клаузиусом, занял в науке первостепенное место. Теперь его охотно называют принципом эволюции, по соображениям, которые мы сейчас укажем. Вместе с тем, было установлено, что этот принцип существенно основывается на понятии вероятности и, следовательно, все извлекаемые из него выводы надо считать весьма и весьма вероятными, но не абсолютно достоверными.

28. Чудо Джинса. Английский физик Джине задался вопросом, может ли получиться при таком простом опыте, когда в хорошо нагретую печь ставят сосуд с водой, что вода не закипит, а превратится в лед. Проведя расчеты, весьма сходные с теми, которые намечены выше в связи со смешением газов, Джине сумел вычислить вероятность того, чтобы произошло то, что позднее было названо чудом Джинса, то есть того, что вода превратится в лед и, вследствие этого, что печь дополнительно нагреется.

И вот, вычислив эту вероятность, Джине заключил, что не следует говорить о таком чуде как о невозможном, а только как о в высшей степени невероятном.

Я должен признать, что в своих предыдущих работах я принимал эти заключения Джинса и то, как он их формулировал. Несомненно, я был под впечатлением того, что с этим соглашались многие математики и физики. Но теперь, как это будет видно в конце данной книги, я того мнения, что следует без колебаний заявить, в согласии со здравым смыслом, что чудо Джинса не произойдет.

Само собою разумеется, я не думаю, что согласие со здравым смыслом является достаточным аргументом; я не забываю, что, как писал Поль Валери, именно здравый смысл долгое время отрицал существование антиподов и движение Земли вокруг Солнца. Но мне кажется, что для

чисел весьма больших и весьма малых наше воображение недостаточно, и поэтому в немалой мере обманчиво рассуждать о них так, как о числах, чье точное значение нам доступно.

29. Принцип эволюции. Принцип эволюции (современная форма принципа Карно) состоит в том, что замкнутая система, то есть не получающая энергии из внешнего источника, в своем развитии с необходимостью переходит от состояний менее вероятных к более вероятным. Это имеет место при смешении газов и так же обстоит дело при смешении двух жидкостей с несколько отличными плотностями, например, воды и вина, размещенных одна над другой в вертикальной трубке; по истечении некоторого времени мы получили бы практически однородную смесь, и разделения вина и воды никогда не произошло бы.

Можно также дать другую формулировку принципа эволюции, а именно, что замкнутая система не проходит дважды через одно и то же состояние. Действительно, воду и алкоголь можно выделить из смеси, но для этого надо прибегнуть к перегонке (дистилляции), что требует внешнего источника теплоты.

Впрочем, нет необходимости переходить к молекулярному уровню, чтобы наблюдать закон эволюции. Если у нас есть зерна, размеры которых меньше миллиметра, так что на литр их приходится несколько миллионов, причем некоторые из них белые, а другие черные, то легко смешать зерна обоих цветов примерно в равном количестве, чтобы получилась равномерно серая смесь. При этом, встряхивая такую смесь, нам никогда не удастся выделить небольшую однородную массу, целиком черную или целиком белую. Чтобы получить такую однородную массу, нужно было бы набраться терпения и доставать зерна по одному. Но то, что, строго говоря, было бы возможно с зернами, совершенно невозможно с молекулами. Максвелл придумал крохотного демона (известного под именем «демона Максвелла»), который, поместившись перед маленьким отверстием, разделяющим два сосуда, пропускает справа налево только самые быстрые молекулы, то есть самые теплые, а слева направо — только самые холодные, то есть наиболее медленные. С этой целью он применяет заслонку и перекрывает ею отверстие перед молекулой, которая не должна пройти. Действие такой заслонки требует известной работы, и можно ли обойтись работой

настолько малой, чтобы этим можно было пренебречь по сравнению с достигнутым результатом? Этим результатом было бы, очевидно, постепенное нагревание газа в левом сосуде, уравновешиваемое постепенным охлаждением газа в сосуде справа. Таким образом, с помощью демона Максвелла, мы получилибы нарушение принципа эволюции, но это не настоящее нарушение, так как демон привнес работу извне.

30. Энтропия. Основатели термодинамики вместе с Клаузиусом определили некую функцию состояния системы, которую они назвали энтропией. Энтропия тела, все части которого одинаковой температуры, равна частному от деления на абсолютную температуру тела количества тепла, которое выделило бы тело при его охлаждении до абсолютного нуля. Принцип Карно — Клаузиуса, или закон эволюции, можно высказать в следующей форме: энтропия замкнутой системы всегда только уменьшается. Теперь энтропию определяют как абсолютное значение логарифма вероятности. Следовательно, когда вероятность возрастает от до 1, энтропия убывает от бесконечности до нуля

Если бы энтропия вселенной стала равной нулю, это означало бы, что достигнуто окончательное состояние, в котором уже невозможна никакая эволюция. Вселенная была бы, следовательно, однородной массой материи одинаковой температуры. Существование бесчисленных звезд, то есть огромных концентраций весьма горячей материи, показывает нам, что мы весьма далеки от этого состояния нулевой энтропии. Время же, необходимое, чтобы его достичь, по сравнению со сроками существования жизни на нашей планете — то же самое, что миллиарды веков по сравнению с одной секундой. Но мы не можем задерживаться на этих космогонических проблемах, в которых сейчас главное — противоречие между законом всемирного тяготения и теми неизвестными причинами, которые вызывают явление расширения вселенной Обратимся к нашей планете. Здесь, где постоянное поступление солнечного тепла позволяет нарушать закон эволюции, применимый только к изолированной системе, мы замечаем, что биологические явления чаще всего состоят в создании состояний, которые не являются вероятными. Именно так образовались те значительные запасы каменного угля и нефти, которые питают нашу промышленность, именно так наши леса снабжают нас дровами в большом количестве. Однако происходят и

такие явления, которые представляются необратимыми, и наиболее существенное среди них — медленное, но нарастающее оползание почвы и спуск скал с гор на равнины и в моря. Можно было бы уменьшить размах этого процесса с помощью лесонасаждений, но и это не ликвидировало бы его, и не представляется возможным извлечь из моря все твердые вещества, сносимые туда реками. Чтобы помешать этому, нужно было бы пропускать реки в их устье через фильтр.

Следствием той разницы в температуре между экваториальными и полярными областями, которая создается солнечным излучением, является значительная разница в температуре экваториальных морей на различных глубинах. Действительно, в океанах устанавливаются теплые поверхностные течения, идущие от экватора к полюсам, и глубокие холодные течения, идущие от полюсов к экватору. Одному изобретательному предпринимателю пришла в голову мысль использовать эту разницу температур в экваториальных морях на различных глубинах. Для этого нужно было бы насосами подавать на поверхность холодную воду с глубины. К сожалению, устройства, необходимые для такой подачи, хорошо работали при спокойном море, но не могли выдержать те сильные волнения, которые иной раз создаются ветрами в поверхностном слое морей. Мощь волн иногда такова, что практически ей нельзя противостоять. Нужно было бы сначала проложить в твердой почве трубы для откачки воды с глубины и вывести их в воду настолько глубоко, чтобы воздействие волн не ощущалось. Но легко видеть, что такую установку осуществить трудно, и акционеры, которых соблазнило остроумие проекта, потеряли свои деньги.

31. Порядок и беспорядок. Заканчивая, отметим, что во многих случаях можно говорить не о вероятности состояния, а о порядке и беспорядке. Очевидно, что порядок менее вероятен, чем беспорядок, и если легко получить беспорядок, исходя из порядка, то вообще нужно немало усилий, чтобы из беспорядка создать порядок. Уголь и железная руда — это упорядоченные запасы, находящиеся в нашем распоряжении. Когда мы сжигаем уголь, мы его рассеиваем в беспорядке и только благодаря растениям мы можем снова упорядочить тот уголь, который находится в воздухе в виде углекислоты. Но железо, используемое для разнообразнейших нужд, чаще всего достаточно быстро рассеивается и теряется. Это же имеет место для большинства

продуктов человеческой деятельности, которые обычно оказываются быстро утерянными. Недалек тот день, когда рассеяние естественных ресурсов заставит использовать новые источники энергии, например, приливы. Впрочем, все эти различные источники — космического происхождения (энергия Солнца или энергия вращения Земли). Но чтобы использовать такие источники даровой энергии, как приливы, нужно построить достаточно сложные аппараты и машины, для которых потребуется исходный материал, такой, как медь. Таким образом, проблема постепенного рассеяния таких материалов не будет снята с повестки дня.

Однако можно указать на то, что если эволюция видов в течение очень больших периодов привела к постепенному уменьшению их величины, то это может повлечь за собою уменьшение потребности в порядке для существования этих видов. Это значит, что можно получить ту же степень усложнения, несмотря на эволюцию к беспорядку. Так, часы малых размеров требуют, в конце концов, меньшей затраты труда, чем большие настенные часы. Но это уже такие соображения, которые не могут притязать на то, что дадут нам возможность предвидеть будущее Земли и, тем более, будущее вселенной.

Итак, нашим выводом будет то, что вселенная эволюционирует от неоднородного к однородному, то есть от относительно упорядоченного состояния к состоянию все более и более беспорядочному. Но эта эволюция, при общем взгляде на нее, происходит чрезвычайно медленно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>