Главная > Математика > Вероятность и достоверность
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VI. БОЛЬШИЕ ЧИСЛА И ВСЕЛЕННАЯ

38. Астрономические числа. В повседневной речи большие числа называют астрономическими, потому что помимо математиков, которым, как мы только что видели, не составляет труда выписывать весьма большие числа, именно астрономы пользуются такими числами при определении межзвездных расстояний, массы Солнца, размеров вселенной. Мы намереваемся оценить порядок величины этих астрономических чисел относительно единицы длины в системе то есть сантиметра.

Расстояния до звезд обычно определяются по времени, за которое их проходит свет, а скорость света (в пустоте) равна километров в секунду или 30 миллиардам сантиметров, то есть см в секунду. Время, необходимое для света, чтобы дойти от Земли до Солнца, несколько больше восьми минут, и мы его примем равным 500 секундам, так как во всей этой главе мы будем упрощать подсчеты, пользуясь приближенными числами, поскольку для нас важен только порядок величины результатов.

Итак, расстояние от Земли до Солнца в сантиметрах равно произведению 500 на то есть составляет Наиболее удаленная от Солнца планета Плутон дальше от него, чем Земля, примерно в 40 раз, что дает для ее расстояния от Солнца , а для объема шара с центром в Солнце, содержащего внутри себя всю солнечную систему, около , то есть (куб. см). Так как масса Солнца равна примерно граммов, то если бы она была равномерно распределена в таком шаре (массами планет по сравнению с массой Солнца можно пренебречь), средняя плотность составляла бы (граммов на куб. см). Свет Солнца затрачивает около трех лет, чтобы достичь ближайшей к нему звезды (а Центавра). Это соответствует примерно секунд (свыше 1000 суток и менее чем 100 000 секунд в сутках), стало быть, расстоянию в

Объем шара S с центром в Солнце и с радиусом, равным этому расстоянию, составляет около следовательно, если бы масса солнечной системы была равномерно распределена в таком шаре, плотность была бы около

Если предположить, что средняя плотность звезд нашей Галактики почти равна плотности вблизи Солнца и что средняя масса этих звезд того же порядка величины, что и масса Солнца, то вычисленная только что плотность дает достаточно точное представление о порядке величины средней плотности материи в нашей Галактике. Это значит, что показатель 20 верен с точностью до нескольких единиц в ту или другую сторону.

Если оценить наибольший поперечник нашей Галактики в 100 000 000 световых лет то он не более чем в 108 раз превышает радиус шара и порядок величины этой длины не превысит 1027, куб же этого числа есть 1081. Самые отдаленные спиральные туманности, какие удается наблюдать — это галактики, расстояние которых от Земли не больше трех миллиардов световых лет, то есть 1028 см, а куб этого числа есть 1084.

Таковы наибольшие астрономические числа, которые получаются при измерении известной вселенной в единицах CGS

39. Астрономические сроки. При вычислении промежутков времени, которые необходимы для прошлого и будущего развития нашей солнечной системы, мы будем получать значительно меньшие числа.

В начале нашего столетия геологи и астрономы вступили в спор по вопросу о возрасте Земли. Сроки, которые казались геологам необходимыми для того, чтобы объяснить формирование земных отложений, превышали промежутки, которые, согласно астрономам, отделяют от нас те времена, когда земной шар охладился настолько, что стало возможным образование океанов и появление жизни.

Этот спор возник из-за того, что по подсчетам астрономов светило типа Солнца не может излучать свет в течение продолжительного времени. Но после открытия радиоактивности и того факта, что при превращениях материи высвобождается огромная энергия, выяснилось, что для эволюции светил можно указать значительно большие сроки, чем это казалось раньше. Теперь геологи и астрономы

сходятся на том, что со времени охлаждения земного шара прошло около миллиарда лег, а возможная в будущем продолжительность жизни на Земле есть величина того же порядка.

Чтобы гарантировать себя от ошибок, неизбежных в рассуждениях такого рода, мы могли бы допустить даже сотни миллиардов лет, что дало бы около тысячи миллиардов раз по десять миллионов секунд, то есть 1022 секунд. Таково наибольшее из астрономических чисел в оценках сроков, если ограничиться нашим шаром, что для нас особенно интересно. Быть может, хотя это представляется все менее и менее вероятным, это число следует умножить на миллион или миллиард при учете возможностей эволюции всего наблюдаемого нами звездного мира. Но и при этом нам не удастся превысить 1030 секунд.

40. Экскурсия в бесконечно малое. Уже давно замечено, что хотя бесконечно малое кажется нам более доступным, чем бесконечно большое, его сравнительно труднее измерить и постичь.

Молекулы и атомы, из которых состоят химически простые и сложные тела, долгое время считались недоступными, их существование было только чистым предположением. Однако в конце прошлого и в начале настоящего века удалось их измерить различными, но согласующимися методами, а важные экспериментальные работы (среди которых одно из первых мест надо отвести работам Перрэна) доказали реальность атомов и молекул и сделали их доступными наблюдению и опыту.

Порядок величины массы молекул по отношению к грамму около Если принять его равным корень кубический из этого числа будет и это дает нам представление о порядке величины линейных размеров атома или молекулы. Но в течение последних двадцати лет физики ушли значительно дальше в познании материи, смогли проникнуть в атом и представить себе его строение (Нильс Бор). Узнали также о частицах значительно меньших, чем атомы (протоны, негатоны, позитроны, мезоны). Эти новые теории тесно связаны с теорией квантов и волновой

механикой (Планк, Шредингер, Луи де Бройль). Наименьшие полученные при этом массы имеют порядок

Все эти теории находятся в процессе развития и, без сомнения, еще не сказали своего последнего слова. Поэтому будет благоразумно принять большой «запас прочности» в оценках того, как малы будут по сравнению с размерами атома те размеры, с которыми придется иметь дело в будущем. По-видимому, множитель порядка тысячи миллиардов, то есть 1012, является достаточным для такой цели, по крайней мере пока будут читать эту книгу. Мы получаем таким образом линейные размеры порядка что дает для объемов или масс (в действительности массы больше, плотности самых малых частиц весьма велики).

Если сопоставим результаты, полученные в бесконечно малом, с тем, что мы получили в бесконечно большом, то мы увидим, что для оценки размеров вселенной с помощью наименьшей возможной инфрамолекулярной шкалы достаточно чисел меньших, чем 1050 для линейных размеров и, стало быть, меньших, чем 10160 — для объемов.

41. Самые короткие сроки. Для наибольших промежутков времени в системе единиц CGS мы получили числа, приблизительно равные тем, которыми выражаются в той же системе наибольшие расстояния. Примерно таково же соотношение между самыми малыми промежутками времени и самыми малыми длинами. Такими самыми короткими промежутками являются, с одной стороны, периоды световых колебаний, с другой, — интервалы между двумя последовательными столкновениями одной и той же молекулы. И здесь мы можем принять определенный запас, чтобы учесть как прогресс наших средств исследования, так и развитие физических теорий. Так мы получаем в качестве наименьшего промежутка времени, какой приходится рассматривать, секунды. Самый большой промежуток, с которым нам довелось иметь дело, составлял секунд, так что отношение его к наименьшему промежутку равно и это как раз то отношение, которое получилось у нас между наибольшим и наименьшим линейным размером.

Помножив отношение промежутков времени на отношение объемов, то есть 1060 на 10150, мы получим 10200 в качестве максимального числа элементарных событий, могущих произойти во всей вселенной, — событий, локализованных в минимальном возможном объеме и во времени

происходящих в кратчайшие сроки. В последней главе мы обсудим те проблемы, которые возникают в связи с рассмотрением сложных событий. Здесь мы ограничимся замечанием, что даже считая наши оценки весьма большого и весьма малого чересчур робкими, не легко будет заменить на . Отсюда заключаем, что это ничуть не затронет наших выводов, если речь идет о сравнении этих чисел со степенями числа 10, когда их показатели достигают миллионов или миллиардов, как у нас получалось в предыдущих главах. Теперь же мы попробуем показать, как можно было бы пытаться получить столь большие числа в построениях, основанных на возможности бесконечной вселенной.

42. Вселенная конечная или бесконечная. Известно, что теория относительности позволила поставить вопрос о том. конечна или бесконечна вселенная, в точной формулировке. А именно, кривизна вселенной в определенной области была получена в виде простой функции от средней плотности массы материи в этой области, и если эта кривизна больше фиксированного числа, сколь бы мало оно ни было, то отсюда с неизбежностью следует, что вселенная конечна, и что линии, которые мы называем прямыми — траектории лучей света — в действительности окружности очень большого радиуса. Двигаясь по ним, мы возвращаемся к исходной точке, как это проделывало бы крохотное животное, если бы оно каждый год продвигалось по земному меридиану на долю миллиметра. Но такому животному нужно было бы жить миллиарды лет, чтобы обойти таким образом Землю, так что оно не было бы под угрозой заметить это движение по замкнутой траектории, как не заметили бы этого и его потомки, даже если бы их сведения и наблюдения передавались от поколения к поколению.

Но хотя теория относительности приводит к выводу, что гипотеза конечности вселенной является вероятной, эта теория не позволяет целиком отбросить гипотезу, что вселенная бесконечна. Только в последнем случае следует допустить, что если мы рассматриваем шар с центром в какой-то точке и с неограниченно растущим радиусом, то средняя плотность материи внутри такого шара стремится к нулю.

Впрочем, уже давно было указано на то, что если в бесконечной вселенной средняя плотность звезд постоянна, то небо должно было бы нам казаться столь же светлым, как

солнечный диск, по крайней мере, если допустить, что межзвездные пространства пусты и не поглощают света. Если же эти пространства не пусты, мы сталкиваемся с другими трудностями.

Итак, попытаемся представить себе эту вселенную, в которой средняя плотность материи равна нулю. Нам известна наша Галактика, то есть скопление звезд, образующих Млечный Путь, причем ближайшие к нам звезды рассеяны по всем направлениям. Средняя плотность этой Галактики примерно такая, какую мы вычислили в § 39, то есть Можно допустить, что такова же средняя плотность и других галактик, которые мы наблюдаем в виде спиральных туманностей. Но для того, чтобы средняя плотность уменьшалась внутри сферы все большего и большего радиуса, надо допустить, что общий объем всех этих галактик внутри этой сферы весьма мал по сравнению с объемом разделяющих их пустот. Иными словами, если размеры галактик выражаются сотнями миллионов световых лет, то разделяющие их промежутки выражаются по меньшей мере миллиардами.

Мы подходим здесь к крайним пределам того, что может достичь наша наука, и дальше можно двигаться, только опираясь на аналогии и нагромождая предположения. И все-таки для нас это единственное средство, чтобы превзойти те астрономические числа, которые мы смогли получить, то есть 10200.

43. Числа сверхастрономические. Итак, допустим, что галактики, подобные нашей и которые мы назовем галактиками первого порядка, столь же многочисленны, как и звезды, образующие нашу Галактику, и что сами они составляют то, что мы будем называть галактикой второго порядка. Мы видели, что звезды, образующие нашу Галактику, отделены одна от другой при наибольшей близости несколькими световыми годами, при наибольшем удалении — десятками миллионов световых лет. По нашему допущению в галактике второго порядка самые близкие друг к другу галактики первого порядка находятся на расстояниях в несколько миллионов световых лет. Таким образом, для

расстояний между ними приходится принять миллионы миллионов световых лет, что указывает размеры галактики второго порядка. Следовательно, линейные размеры такой галактики второго порядка примерно в 10 раз больше размеров нашей Галактики, стало быть, ее объем больше объема галактики первого порядка примерно в раз.

Теперь нам надо представить себе другие галактики второго порядка, чьи взаимные расстояния должны быть по меньшей мере в 10 раз больше их максимальных размеров, и так далее. С каждым новым нашим шагом объем галактики умножается примерно на , так что он умножится на , когда мы дойдем до галактики тысячного порядка.

Разумеется, математик не обязан остановиться на этом, он может брать сколь угодно большие порядки галактик, поскольку он располагает неограниченной последовательностью целых чисел. Однако пора задать себе вопрос, могут ли эти рассуждения соответствовать чему-то для нас реальному.

44. Сверхгалактики. Действительно, мы только что видели, что размеры галактики некоторого порядка примерно в 10 миллионов раз больше размеров галактики порядка непосредственно предшествующего. Это почти такое же отношение, в каком находятся размеры земного шара и капли воды. Если мы представим себе, что капля воды населена разумными, как и мы, существами, но настолько же малыми, по сравнению с этой каплей, насколько мы малы по сравнению с Землей, то станем ли мы рассматривать как возможное и правдоподобное то, что эти обитатели капли воды составили себе достаточно точное представление о разнообразии минералов, растений, животных на поверхности Земли, не говоря уже о внутренности нашей планеты, о которой мы сами мало что знаем? И каковы должны быть наши выводы, если предположить, что операция перехода от галактики к галактике высшего порядка повторяется тысячу раз?

Как уже сказано, наши допущения о соотношениях между галактиками различных порядков вполне произвольны, ибо они основаны только на грубых аналогиях. Но надо отдавать себе отчет в том, что в наших выводах ничто не изменилось бы и при том или ином видоизменении этих допущений. Действительно, надо отбросить как абсурдное

то допущение, что плотность числа звезд нарастает по мере удаления от Земли; даже если считать эту плотность близкой к постоянной, мы сталкиваемся с непреодолимыми трудностями. Но даже выводы теории относительности о конечности вселенной не изменят наших выводов.

Задолго до достижения чисел порядка величины (относительно самых малых вообразимых длин и сроков) мы оказываемся в океане неизвестного, потому что нет никаких оснований для того, чтобы вселенная на таких удалениях, если они существуют, была бы в какой-то мере подобна нашему миру: от него она может отличаться качественно и количественно больше, чем земной шар от капли воды или от песчинки.

Поэтому не только невообразимо, но и абсурдно допущение, что опыт, подобный опыту с дактилографирующими обезьянами 1191 или опыту Джинса, можно повторять раз.

Наконец, приведем любопытное следствие теории расширяющейся вселенной: часть вселенной, которая нам доступна зрительно, конечна, потому что расположенные за нею части удаляются от нас со скоростями, превышающими скорость света, и никакой сигнал оттуда никогда не сможет попасть к нам. Следовательно, если исходить из наших сведений, все происходит так, как если бы вселенная была конечной, а ее размеры едва превышали бы миллиард световых лет.

В главе IX мы попробуем уточнить те выводы относительно понятий достоверности и вероятности, которые можно извлечь из этих замечаний. В ближайших двух главах мы будем изучать простые задачи, в связи с которыми в теорию вероятностей проникли понятия бесконечности и непрерывности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>