Главная > Математика > Вероятность и достоверность
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VIII. СОФИЗМ КУЧИ ЗЕРНА

47. Софизм древних. В предыдущих главах мы сознательно оставляли в стороне вопрос о точном определении такого значения вероятности, которое можно считать пренебрежимым. Этот вопрос в действительности связан со знаменитым софизмом кучи зерна, который дошел до нас от древних греков.

Одно зерно не составляет кучи, не составляют ее и два зерна, и три, ... С другой стороны, каждый согласится с заявлением, что сто миллионов зерен образует кучу. Какова же точная грань? Можно ли допустить, что 325 647 зерен не образуют кучи, тогда как 325 648 зерен ее образуют?

Однако, если нельзя установить грань, то невозможно понять, что значит куча зерна, и эти слова лишены всякого смысла, хотя, вместе с тем, в определенных случаях они не вызывают никаких разногласий.

Можно было бы заявить, что поставленный вопрос есть вопрос словоупотребления и его следует считать праздным и неинтересным. Можно было бы предложить различать с помощью подходящих прилагательных маленькую кучу от кучи ничтожной, или от кучи большой и кучи огромной. Но так как число таких прилагательных ограничено, это означало бы только отодвинуть, но не устранить трудность.

В ближайших параграфах мы займемся аналогичными вопросами, поставленными в связи с реальными задачами, которые отнюдь не являются лишь вопросами словоупотребления; однако те несколько замечаний, которые мы сделаем по поводу софизма древних греков, будут небесполезны для разъяснения этих новых трудностей.

И действительно, мы увидим, что хотя софизм кучи зерна выглядит несерьезным, в действительности он, подобно другим софизмам, завещанным нам древнегреческими философами, ставит важные и всегда актуальные проблемы.

Сначала мы избавимся от лишних трудностей. Вид кучй зерна зависит не только от количества черен, которого на глаз мы не можем определить; он зависит также от объема и среднего веса зерен, разных для разных местностей и лет сбора. Следовательно, ставится вопрос, как узнать, заслуживает ли такое-то скопление зерен названия кучи или нет. Так как речь идет о названии, то решать должен обычай, то есть среднее мнение тех, кто говорит на данном языке, скажем, по-французски.

Итак, первое решение состояло бы в том, чтобы опросить если не всех взрослых, говорящих по-французски, то хотя бы достаточно большое их число, дабы процент ответов дал достаточно точное представление о проценте, который был бы получен при более широком опросе. Если такой процент был бы равен, скажем, 65% за то, что данное скопление зерен есть куча, и 35% за то, что это не куча, можно было бы договориться о следующем: вероятность того, что мы имеем кучу зерна, равна 0,65, вероятность противоположного — 0,35. Естественно, что вероятность положительного заключения будет расти с ростом числа и веса зерен Когда она достигнет единицы, мы будем уверены, что для всех, знающих французский язык, мы должны употребить выражение куча зерна.

Такое решение, которое я указал в упомянутой в примечании книге, мне кажется, вызывает возражения. Действительно, можно полагать, что для установления правильности речи нужно не единогласие, а только достаточное большинство. Например, если 95% всех опрошенных лиц будут за то, чтобы использовать выражение куча зерна, то естественно считать, что они правы, — в том смысле, что они достаточно многочисленны для выявления словоупотребления наиболее распространенного, которое должно иметь силу закона. Остающихся 5% надо будет призвать к исправлению их способа выражения, как не соответствующего правилам речи. Разумеется, с выбором коэффициента 95% обязательно связана некоторая неопределенность, так что мы, в другом виде, снова встречаемся с тем софизмом, которого мы хотели избежать. Поэтому решение, на котором мы остановимся, будет состоять в следующем. Считаем вероятность того, что наше выражение подходит, равной 50%,

если процент благоприятных ответов Тоже равен 50; однако с ростом благоприятных ответов эта вероятность растет быстрее, так что она достигает единицы, например, тсгда, когда процент благоприятных ответов достигает 90. Поскольку дело идет о словоупотреблении, этот последний уровень мог бы быть установлен произвольно авторитетной организацией, то ли правительственной, то ли академической, обладающей правом кодифицировать язык. При этом мы также сразу затрагиваем административное решение (§ 48) и сходные вопросы, возникающие по поводу ошибок наблюдения (§ 50).

Итак, ограничимся отсылкой к этим параграфам и замечанием, что введение вероятности, которое можно рассматривать как законодательный ответ на поставленный вопрос, имеет хотя бы то преимущество, что устраняет крайне разительное отсутствие непрерывности в формулировке, данной древними. Действительно, согласно их постановке вопроса необходимо решить, что мы не имеем кучи до, скажем, 97 345 зерен включительно, но куча налицо, начиная с 97 346 зерен. Очевидно, нас будет меньше шокировать заявление, что в первом случае вероятность того, что имеем кучу, есть 0,49999, тогда как во втором случае она равна 0,50001. Впрочем, надо добавить, что практиче:ки нам столь же трудно отличить друг от друга эти две вероятности, как и найти точное число зерен.

48. Административное решение. Представляется полезным сказать несколько слов о решении администрачивном, то есть о правилах, с помощью которых принятом произвольного решения стараются преодолеть практические затруднения, возникающие в силу рассматриваемого соф«-ма при применении некоторых налоговых или других законов. Например, законом может быть установлено, что автомашина считается полугрузовой, с точки зрения государственной казны или правил товарооборота, если ее весне иревосходит 2000 кило, а при превышении такого веса — это уже грузовик. Но мы не настаиваем на этом примере, к которому, впрочем, применимо большинство замечатй, которые сейчас будут сделаны.

Известный в свое время юморист довольно забавно описывал те затруднения, которые может создать правило, что ребенка, начиная с трехлетнего возраста, нельзя везти бесплатно по железной дороге, а нужно уплатить за него

половину тарифа. В юмореске был изображен дотошный папаша, едущий в поезде со своим сыном и включающий сигнал экстренной остановки в тот момент, когда его ребенку исполняется три года. Прибежавшему после остановки поезда проводнику отец заявляет: я использовал единственный способ, чтобы точно расплатиться, потому что я должен оплатить полбилета за те километры, которые нам осталось проехать.

История на этом заканчивалась, но каждый может представить себе соответствующую развязку, включая появление врача-психиатра с заданием выяснить, в здравом ли уме этот отец семейства.

Этот вымышленный рассказ все же привлекает внимание к некоторым достаточно мелким вопросам, которые так или иначе надо было бы решить, то ли введя детальные правила, то ли предоставив их на усмотрение контролеров. Если не принимается во внимание час рождения, а только число, то надо ли принять для этого неизвестного нам часа О часов, 12 часов, 24 часа? Как быть с летним временем или с могущей иметь значение разницей во времени места рождения и места пребывания ребенка? Можно было бы также заняться буквоедством в связи с 29 февраля. Но мы не будем на этом останавливаться, а предпочтем рассмотреть более серьезный вопрос, тоже взятый из железнодорожной практики.

Каждый пассажир имеет право на бесплатный провоз 30 кило багажа. Для ускорения обслуживания используются весы, точность которых не очень велика. Железнодорожный служащий бросает быстрый взгляд на их шкалу и провозглашает, каков вес в килограммах, без долей. В соответствии с тем, сказано ли 30 или 31 кило, пассажир освобождается от платы или оплачивает излишек. От инструкций, полученных служащим, и от того, как он их толкует, зависит, скажет ли он 31, а не 30, начиная с некоторого веса, который может быть равен точно граммам или или 30 100, или 30 500, или 30 900, или 30 950. Будем рассуждать в предположении, что этот вес равен 30 500, но ничего не изменится, если исходить из другого значения. Итак, допустим, что служащий объявляет 31 кило, если ему кажется, что вес, наблюдаемый им, равен или превышает 30 500. Сказать, что точность весов ограничена, значит сказать, что точный вес содержится, например, между 30 480 и 30 520, и тогда один шанс из двух как за то, что

служащий объявит 30, так и за то, что он объявит 31. Более точно, вероятность того, что он объявит 31, равна, быть может, нулю при весе 30 400, затем возрастает, сначала медленно, потом быстрее, и становится равной 0,5 при весе 30 500. Далее она будет расти, сначала быстрее, потом медленнее, и станет равной единице при весе 30 600. Таким образом, вместо разрывности, которая могла бы, казалось нас шокировать, устанавливается непрерывность. Впрочем, эта непрерывность достигается иной раз за счет того пунктуального пассажира, который, зная в совершенстве правила и порядки, хотел бы использовать до предела свои льготы и, взвесив точно свой багаж, взял бы с собою 30 499 граммов. Такой пассажир был бы уверен, что он ничего не заплатит, тогда как один шанс из двух был бы за то, что ему придется платить.

Очевидно, что трудности одинаковы, какова бы ни была точность употребляемого измерительного устройства (можно повысить точность и путем достаточно частых повторных измерений). Например, в те времена, когда существовало свободное обращение золотых монет, считалось, что они, будучи достаточно долго в ходу, несколько стирались и теряли в весе. Поэтому был установлен определенный допуск порядка миллиграмма. Но когда оказывались вблизи этого предельного допуска с точностью до десятой миллиграмма, то мог быть один шанс из двух за то, что монета будет признана или не признана полноценной при взвешивании в той или иной кассе.

49. Физическая непрерывность согласно Пуанкаре. Предыдущие соображения можно сопоставить с определением физической непрерывности, данным Пуанкаре в его книге «Наука и гипотеза». В свое время я высказал некоторые возражения против этого определения, на которые Пуанкаре не ответил, и это позволяет думать, что он с ними согласился. Понятие физической непрерывности, согласно Пуанкаре, сводится к допущению, что одновременно могут быть следующие равенства и неравенства:

Это сводится к заявлению, что средства, которыми мы располагаем, не позволяют нам отличать величину А от величины В, величину В от величины С, но все же мы можем установить, что величина А больше величины С.

При этом большая или меньшая точность средств, которыми мы располагаем, значения не имеет, как только эти средства раз навсегда определены. Мы можем грубо сравнить веса — прикидкой, или длины — на глазок; и можно использовать то или иное средство для измерения или сравнения, изобретенное физиками и более или менее совершенное. Каков бы ни был примененный способ, всегда будет минимум различения, ниже которого разница между настолько мала, что она нам кажется нулевой, и мы заключим, что равны; точно так же и С нам кажутся равными, однако разница между достаточно велика, чтобы мы нашли А большим, чем С.

Допустим, для простоты, что мы не располагаем никакими физическими инструментами, а только своими мускулами и глазами; чтобы не было лишних трудностей, нужно предположить, что сравниваются предметы сходной формы и сходного состава. Действительно, мы рисковали бы допустить грубые ошибки, если бы пожелали сравнить вес медного шара и шара из пуха, приподнимая их, или, став перед домом, пытались определить на глаз, больше или меньше его высота его ширины. Поэтому предположим, что мы сравниваем металлические шары одинакового диаметра, веса которых различны потому, что эти шары в разной мере полы. Нам кажется, что шары одного веса, как и шары но мы замечаем, что А кажется нам более тяжелым, чем С. Но в таком случае, и в этом состоит мое возражение Пуанкаре, нам легко сделать вывод, что шар В, который казался нам равным А, тоже больше чем С. Действительно, если В меньше С, то разность должна быть больше разности положительность которой нами установлена, то есть мы должны были бы обнаружить, что А больше В, а не то, что А равен В. Равным образом, из того, что В показался нам равным С, следует, что В меньше А, ибо если бы В был больше А, то обнаружилось бы, что В больше С, а не равен ему. Иными словами, если опытным путем установлено, что

то отсюда логически следует, без каких бы то ни было новых опытов, что

Таким образом, возможно, имея большое число шаров, близких по весу, выявлять сравнительно малые различия в весе, используя результаты большого числа попарных сравнений этих шаров. Быть может, было бы даже выгоднее сравнивать общий вес двух шаров с общим весом двух других шаров. Но мы не будем останавливаться на этих деталях, потому что нельзя корректно рассматривать этот вопрос, не привлекая теорию ошибок, о которой речь пойдет в следующем параграфе.

Вернемся к формуле Пуанкаре, которой он характеризовал грубые экспериментальные результаты, приводящие к понятию физической непрерывности. Обобщая, мы можем написать:

Это нас в точности подводит к софизму кучи зерна. Скопление в 1010 зерен для нас неотличимо от скопления в 1020 зерен, а неотличимо от А 3 в 1030 зерен, скопление в 1990 зерен неотличимо от в 2000 зерен, и, однако, последнее нам кажется более значительным, чем скопление в 1010 зерен. Таким образом, мы видим, что софизм в точности состоит в выводе из физических равенств физического равенства Это было бы, конечно, верно, если бы имели дело с равенствами математическими, а не физическими. Из того обстоятельства, что добавка одного зерна не меняет для нас физически то, что мы видим, делается ошибочноезаключение, что эта физическая видимость не должна измениться вследствие добавления любого числа зерен и что мы не имеем права заявить, начиная с определенного числа зерен, что перед нами куча зерна, раз перед нами не было такой кучи, когда начали добавлять зерна по одному.

Можно было бы также сказать, что будет не верно переносить в область физики классическое математическое рассуждение, состоящее в переходе от если установлено, что некоторая функция не изменяется при этом, то есть, что то отсюда заключают, что такая функция сохраняет одно и то же значение при бесконечно

возрастающем, то есть когда переменное число превосходит любое наперед заданное число.

С помощью коэффициента вероятности можно ввести разрывность там, где по видимости имеется непрерывность. Как уже было сказано, мы утверждаем, что если нам покажут два одинаковой формы скопления зерен одного и того же урожая, причем одно содержит 1010 зерен, а другое 1020, то мы заявим, что они одинаковы. Если же нас заверят в том, что они различны и заставят сделать выбор между ними, указав на большее, мы ответим почти что наугад. Это значит, что на 100 последовательных опытов, проделанных с разными лицами, будет около 50 ответов как одного, так и второго рода, впрочем, отклонение от этого числа часто может превысить 5, то есть возможны и 45, и 55 правильных ответов. Можно ли допустить, что небольшая разница в 10 зерен на 1000 изменяет коэффициент вероятности настолько, что можно выявить это изменение при достаточном числе опытов? Положим, что этот коэффициент равен 0,501. Тогда, чтобы можно было надеяться на правильный ответ, нужно было бы около миллиона опытов, чтобы с достоверностью утверждать на основании их результатов, что коэффициент вероятности больше чем 0,5 и что, следовательно, скопление в 1020 зерен в среднем кажется большим, чем скопление в 1010 зерен. Легко видеть, что даже если дать утвердительный ответ на наш вопрос, то достаточно привести другие примеры, скажем, добавление одного зерна к 10 000 вместо добавления 10 зерен к 1000, чтобы число опытов, необходимых для достаточно точного вычисления коэффициента вероятности, возросло сверх всяких возможностей представить себе их осуществление.

Итак, наше заключение таково, что формулы Пуанкаре не только дают единственное логичное разрешение софизма кучи зерна, но и показывают, что этот софизм позволяет выявить фундаментальное свойство экспериментальной науки — понятие физической непрерывности.

50. Ошибки наблюдения. Все точные научные изыскания, в частности астрономические наблюдения, ведутся с учетом постоянного наличия некоторых ошибок наблюдения, которые можно назвать нормальными. Это ошибки, которые получаются, каковы бы ни были искусство и добросовестность наблюдателя, сколь бы тщательно он ни старался избежать таких грубых ошибок, как, например,

наблюдение одной звезды вместо другой, или ошибки в подсчете гирь, положенных на чашку весов.

Эти нормальные ошибки наблюдения тем меньше, чем более усовершенствованы используемые методы, то есть чем больше абсолютная точность наблюдений. Действительно, можно дать определение коэффициента точности, и закон ошибок, который зависит от этого коэффициента, всегда один и тот же (20. Поэтому мы можем взять достаточно грубый пример, скажем, измерение длины в несколько метров посредством деревянного метра с миллиметровыми делениями. Известно, что если против миллиметрового деления приходится достаточно тонкая черточка, то можно отметить и десятую миллиметра, но при нескольких промерах возможна общая ошибка в несколько десятых. Закон ошибок тождествен с законом Лапласа — Гаусса для отклонений при повторных испытаниях. Если мы определим десятичную единицу ошибки и условием, что вероятность абсолютному значению ошибки превзойти и равна одной десятой, то мы заключим, что вероятность превышения этой абсолютной величиной числа равна одной тысячной, вероятность превышения одной миллионной. При этом положительные и отрицательные ошибки одинаково вероятны.

Применим эти результаты к следующей задаче: измерены две величины и известно, что десятичная единица ошибки есть какова вероятность того, чтобы ошибиться при сравнении величин a и b? Предположим, что положительно, и обозначим через положительные, либо отрицательные ошибки измерения. Тогда значения, которые дало измерение, суть а Мы ошибемся, то есть установим, что а меньше если

то есть если

Здесь нам надо применить легко доказываемый результат, а именно, что единица отклонения (или ошибки) для суммы (или разности), в данном случае для равна и если для а и для эта единица равна и. Следовательно, если то нужно, чтобы разность была положительна и превышала и десятичную единицу,

стало быть, вероятность этого есть 1/20; если а вероятность равна Итак, в последнем случае 1999 шансов из 2000 за то, что сравнение величин будет произведено правильно с помощью независимых друг от друга измерений. При этом предполагается, что вероятности положительных и отрицательных ошибок одинаковы; это, возможно, не имеет места для некоторых наблюдателей, по тогда надо было бы только иначе определить десятичную единицу и.

Так теория ошибок наблюдения позволяет нам вычислить вероятность ошибки при сравнении двух величин, когда, вместо непосредственного их сравнения, эти величины измеряют одну независимо от другой. Такой метод сравнения часто является единственно возможным, так как не всегда легко переместить две величины так, чтобы провести их прямое сравнение. Даже если эти величины близки, прямое сравнение часто ошибочно, если мы видим эти величины по-разному. Например, очень трудно сравнивать вертикальную длину с горизонтальной, скажем, высоту потолка зала с его длиной или же высоту и ширину фасада пятиэтажного дома.

51. Повторные испытания и статистическая вероятность. Статистической вероятностью иногда называют наблюдаемую частоту появления одного и того же явления при значительном числе повторных испытаний. Так, метеорологические наблюдения, которые повторно производятся в одном и том же месте, каждодневно в течение столетия позволяют вывести, скажем, из температуры, которая отмечалась в январе, статистическую вероятность того, что средняя температура январского дня превосходит 5°, или того, что она ниже 0°. Какова бы ни была точность наблюдений, всегда налицо будет известная неопределенность тогда, когда назначенная грань достигается точно. Можно было бы уговориться принять тогда вероятность равной 0,5, ибо есть один шанс из двух за то, что действительная температура будет ниже, или, соответственно, выше, чем 0°, если средняя из наблюдений для этого дня точно равна 0°.

Некоторые авторы, следуя Мизесу, полагают, что все вероятности суть вероятности статистические, определенные в некотором множестве, которое называют коллективом. Я изложил в другом месте причины, по которым такая теория мне не представляется приемлемой .

Нам известно, что при определении вероятности по наблюдениям частоты возможны ошибки, вероятности которых подчиняются закону Лапласа — Гаусса. При этом единица ошибки пропорциональна корню квадратному из числа наблюдений, если речь идет о наблюденном числе благоприятных случаев, и обратно пропорциональна этому корню квадратному, если речь идет о частоте. Это означает, что надо умножить на 100 число наблюдений, чтобы получить по соответствующим частотам значение вероятности еще с одной точной цифрой.

Когда мы имеем дело с наблюдениями, проводимыми последовательно, например, с измерениями январских температур в Париже, нет возможности увеличить число этих наблюдений в прошлом, и это число возрастает с каждым прошедшим годом только на единицу. Более того, представляется затруднительным допустить полное постоянство климата, наоборот, наблюдения, ведущиеся вблизи больших городов, указывают на медленные вековые колебания.

Итак, мы видим, что вопрос о том, достаточно ли определенное число испытаний, чтобы дать удовлетворительное приближенное значение статистической вероятности, — из числа тех, в которых применимы возражения характера софизма кучи зерна. Выше мы приводили пример о доле рождений мальчиков, когда наблюдения весьма многочисленны, — их больше миллиона в год, так что можно с достоверностью утверждать, что коэффициент вероятности близок к 0,51 и, во всяком случае, заведомо больше 0,5. В случае зондажа общественного мнения мы также приближенно указали число испытаний, которое надо проделать, впрочем, при условии, что к точности результатов не предъявляют больших требований. Но нам нечего возразить тому, кто предложил бы провести не 5000 опросов, а 4000 или 6000: тут перед нами та же трудность, что и с кучей зерна. Эту трудность не следует недооценивать, но вместе с тем не надо ей придавать чрезмерное значение: она не должна быть предлогом для того, чтобы воздержаться от всякого действия. Таковым должен быть вывод из этой главы, и его не следует терять из виду при чтении следующей, и последней, главы, которая в свою очередь дает вывод из всей книги.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>