Главная > Разное > Введение в теорию прохождения частиц через вещество
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.8. Приближение малых углов

Рассмотрим уравнение переноса в случае, когда рассеяние частиц происходит преимущественно вперед. Примерами могут служить рассеяние -квантов высокой энергии и рассеяние электронов. В этих случаях интегральный

оператор рассеяния в кинетическом уравнении можно упростить или даже заменить оператором дифференцирования, что делает уравнение переноса значительно проще [60, 112, 116]. Проведем соответствующие выкладки без учета потерь энергии при рассеянии.

Выпишем интеграл столкновений, опустив для краткости переменные и

В приближении малых углов (с точностью до членов второго порядка по

Обозначим двумерный вектор с проекциями Проекции вектора однозначна выражаются через проекции поэтому в дальнейшем вместо будем писать В аргументе сечения также перейдем от к углу: Тогда (2.59) примет вид

Если рассеяние происходит преимущественно вперед и быстро убывает с ростом верхний предел в интеграле по можно заменить на . Получающийся при этом интеграл совпадает по форме с интегралом по плоскости в полярных координатах (полярный радиус и азимут В дальнейшем будем записывать такие интегралы в одной из следующих форм:

Используем последнюю форму записи и сделаем в интеграле по замену переменных тогда интеграл столкновений примет вид

Если с изменением угла изменяется медленнее, чем сечение функцию под знаком интеграла можно разложить в ряд:

Подставим (2.61) в (2.60) и, записав вычислим этот интеграл. В интеграле, который соответствует первому члену разложения (2.61), функцию можно вынести из-под знака интеграла, и он примет вид где 2, - полное сечение рассеяния. Интегралы, соответствующие второму и третьему слагаемым, обратятся в нуль при интегрировании проекций по азимуту X По этой же причине обратится в нуль интеграл от последнего члена. Два оставшихся интеграла вычислить просто. Тогда получим

где

— средний квадрат угла рассеяния; Приближение, в котором интеграл столкновений заменяют членом с производной, называют приближением Фоккера—Планка.

Легко видеть, что разложение (2.62) справедливо и для интеграла столкновений сопряженного уравнения

При переходе к приближению малых углов меняется вид градиентного члена кинетического уравнения. В декартовой системе координат, разложив в ряд, получим

Если вектор с проекциями обозначить то градиентный член можно переписать в виде

Для сферически-симметричных задач из (2.50) следует, что

Для получения приближенного решения в формулах (2.65) — (2.67) иногда йренебрегают величиной 2 (или по сравнению с единицей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление