Главная > Разное > Введение в теорию прохождения частиц через вещество
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.6. Преобразование Фурье — Бесселя

Рассмотрим односкоростное кинетическое уравнение с плоским перпендикулярным источником:

Если рассеяние частиц происходит преимущественно вперед и дифференциальная плотность потока быстро убывает с ростом то решение уравнения (3.67) можно искать в приближении малых углов (§ 2.8). В этом приближении интеграл столкновений приводится к виду

а в градиентном члене можно заменить на единицу. Правая часть уравнения (3.67) в приближении малых углов равна так как в соответствии со свойствами -функции, Поэтому уравнение в целом можно записать в виде

Решение уравнения (3.70) будем искать в виде разложения по функциям Бесселя

которые ортогональны в области с весом :

поэтому

Как и в § 3.3, преобразуем сначала интеграл столкновений, разложив по функциям Бесселя дифференциальное сечение рассеяния:

Изменив порядок интегрирования, запишем интеграл столкновений:

Для функции Бесселя, как и для полиномов Лежандра, существует теорема сложения, аналогичная (3.43):

Подставим (3.76) в интеграл столкновений и проинтегрируем по . Интеграл от равен нулю, поэтому

Умножая все члены уравнения переноса на интегрируя по О и учитывая, что получаем уравнение для трансформанты Фурье — Бесселя

В области функцию можно получить, решая однородное уравнение, а чтобы найти проинтегрируем все члены (3.77) по где малая величина): Если источник направленный и рассеяние происходит только на малые углы, то в области Поэтому Переходя далее к пределу 8 О, получаем граничное значение для трансформанты

Таким образом, неоднородное уравнение эквивалентно однородному с граничным условием Его решение имеет вид поэтому интересующее нас решение уравнения переноса есть

Для малых функцию можно разложить в ряд и записать в виде

Легко установить физический смысл отдельных членов найденного разложения. Используя (3.74) и условие ортогональности (3.72), записанное при можно показать, что

и т.д. Ряд (3.79) представляет собой разложение по порядкам рассеяния: описывает нерассеянные частицы, частицы, испытавшие однократное рассеяние, и т. д.

Анализируя асимптотическое поведение решения (3.78), заметим, что если быстро убывающая функция, то функцию Бесселя в (3.75) можно разложить в ряд: тогда и

Вычисляя интеграл с помощью (3.30), получаем

Эта формула совпадает с (3.32), т. е. угловое распределение частиц является гауссовым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление