Макеты страниц § 6.6. Неаналоговое моделированиеВыше было показано, что среднее значение показаний аддитивного детектора представляется в виде функционала от решения некоторого интегрального уравнения. В то же время его можно вычислить статистическим моделированием траекторий частиц, поэтому метод Монте-Карло можно рассматривать как численный метод решения интегральных уравнений [30, с. 258; 58; 72, с. 55; 87, с. 161; 88, с. 71]. Остановимся на этом подробнее. Рассмотрим случайный процесс блуждания частиц в некотором фазовом пространстве, точки которого обозначим х. Пусть
представляет собой вероятность того, что после столкновения в точке X частица испытает еще хотя бы одно столкновение. В случае бесконечной среды эта величина есть вероятность выживания частицы при столкновении в точке х. Легко видеть, что
Из этих определений следует, что с вероятностью
Вклад траектории в показания детектора определяется последовательностью точек столкновения:
Будем говорить, что на множестве траекторий задан некоторый функционал, если каждой траектории (6.60) ставится в соответствие определенное число
где
Каждый член суммы (6.62) содержит множитель
где
Эта величина есть, очевидно, среднее значение функционала Сумму в формуле (6.64) можно преобразовать аналогично, вынося за скобки общий множитель
где
— среднее значение функционала Подставив (6.65) в (6.64), получим формулу
которая выражает величину
которое вместе с формулой (6.63) позволяет записать математическое ожидание В качестве примера рассмотрим функционалы рекуррентного типа, для которых
где
Из формул (6.68)-(6.70) следует, что такой функционал, вычисляемый на случайных траекториях, есть сумма вкладов
называемую статистическим весом. Эту формулу удобно переписать в виде рекуррентного соотношения
Чтобы вывести уравнение для условных моментов, перепишем (6.68), (6.69) в виде
зафиксируем значения
Подставляя (6.73) в (6.66) и учитывая (6.57), (6.58), получаем линейное интегральное уравнение
где
Таким образом, вычисляя на случайных траекториях среднее значение функционала (6.68), (6.69), мы тем самым находим интеграл (6.63):
где Сравним формулу (6.76) с формулой (1.37) для показаний детектора. В стационарном случае она имеет вид
где
Из сравнения видно, что
и
Проведенный анализ показывает, что для вычисления показаний аддитивного детектора в неразмножающей среде можно строить траектории с использованием вероятностей
Формулы (6.82) называют условиями несмещенности, а описанный метод — неаналоговым моделированием. Аналогичные результаты получаются и для среды с размножением [96]. Таким образом, для решения одной и той же задачи можно выбирать различные вероятности
|
Оглавление
|