§ 7.5. Пространственное распределение

Распределение продольных смещений. В известных схемах группировки столкновений продольное смещение электронов как правило, принимается равным пробегу В данной расчетной схеме распределение продольных смещений описывается формулой (7.36), которую с учетом (3.32) можно записать в виде

где функция удовлетворяет уравнению (7.28):

Для решения уравнения (7.56) сделаем в нем замену переменных: от перейдем к и учтем, что функция симметрична по азимуту, т. е. Это приведет к уравнению

В приближении малых углов пределами изменения переменной X можно считать интервал и для решения уравнения (7.57) использовать преобразование Лапласа по переменным

Подействуем на уравнение (7.57) оператором

После интегрирования по частям второго и третьего членов и использования очевидного соотношения

получим для трансформанты уравнение

Решение уравнения (7.61) можно найти методом характеристик:

Подставив (7.62) в (7.58), выполнив интегрирование по и перейдя к новым переменным получим решение уравнения (7.56) [77; 78]:

Отметим, что формулы, близкие к (7.63), (7.64), другими способами вычислены в работах [127, 133].

Подставляя (7.63) в (7.55), получаем для искомого распределения выражение

Графики интегрального, распределения, которые необходимы для моделирования 2, приведены на рис. 7.3.

Распределение поперечных смещений. Как показано в § 7.2, распределение поперечных смещений можно вычислить по формуле (7.37):

где функция удовлетворяет уравнению (7.33):

Для решения уравнения (7.67) можно использовать преобразования Фурье на плоскости по переменным

Подействуем на уравнение (7.67) оператором После интегрирования по частям второго и третьего членов (7.67) и использования соотношения (7.60) получим для трансформанты уравнение

которое заменой переменных легко сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка:

Рис. 7.3. Распределение [77]

Решением последнего является функция

Возвращаясь в (7.70) к переменным получаем решение уравнения (7.69):

Подставив (7.71) в (7.68) и выполнив интегрирование по найдем решение уравнения (7.67):

Формулу (7.72) впервые получил Ферми (цит. в [85, с. 92]). Близкие к ней выражения приведены в работе [116].

Наконец, подставив (7.72) в (7.66), получим для распределения поперечных смешений формулу

Уточнение формул для распределения Используя (7.65), (7.73), легко найти моменты

которые являются главными параметрами пространственного распределения электронов на отрезке. Более точные значения получил Льюис 121] на основе решения уравнения (7.15):

где определяются выражением (7.49).

С помошью выражений (7.76), (7.77) можно показать, что область применимости формул для полученных в этом параграфе, определяется произведением Продемонстрируем это на примере

распределения (7.65). При малых I в выражении (7.76) можно пренебречь зависимостью функции А от энергии, т. е. положить Тогда

Как видно, при последнее выражение переходит в (7.74). Таким образом, область применимости распределения определяется значениями

Использование в (7.65), (7.73) точных выражений для моментов позволяет расширить область применимости этих распределений. Выборку случайных величин из модифицированных распределений можно осуществить, определяя случайные значения с помощью распределений (7.65), (7.73) и умножая их на отношения точных моментов (7.76), (7.77) к приближенным (7.74), (7.75) соответственно.

В работе [77] показано, что более точный учет искривления отрезков вложенной траектории за счет многократного рассеяния позволяет увеличить длину отрезков и тем самым ускорить счет. В частности, для тяжелых веществ скорость вычислений увеличивается в 3—5 раз.