Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.10. Непрерывное фоковское пространство

До сих пор мы имели дело исключительно с дискретными модами электромагнитного поля, которые мы получили в рамках искусственного предположения, что поле заключено в воображаемый куб с ребром и на него наложены периодические граничные условия. Фактически ни один результат, имеющий физический смысл, не зависит от размера куба, и на определенной стадии вычислений этот размер устремляют к бесконечности. Однако, эта процедура не является обязательной для квантования поля и можно иметь дело непосредственно с бесконечной областью пространства. В некоторых отношениях, очевидно, более естественно и элегантно поступить именно так, хотя непрерывное представление, на самом деле, оказывается менее компактным. Прежде, чем закончить формальное изложение квантовой теории излучения, кратко рассмотрим случай, когда поле разлагается на непрерывное множество мод, и векторы поля представляются в виде интегралов Фурье, а не рядов Фурье, как в выражениях (10.4.38)-(10.4.40).

Волновой вектор к теперь представляет собой непрерывный векторный индекс, компоненты которого принимают любые значения от до хотя индекс поляризации по-прежнему имеет только два возможных значения в силу поперечности векторов поля. Тогда запишем

Единичные векторы поляризации удовлетворяют тем же условиям ортонормированности (10.2.15), что и ранее. Операторы вновь играют роль операторов уничтожения и рождения фотонов с волновым вектором к и поляризацией но коммутационные соотношения (10.3.9)-(10.3.11) необходимо заменить выражениями

Как очевидно из этих соотношений, операторы не являются безразмерными, в отличие от соответствующих операторов в дискретном фоковском пространстве. С помощью коммутационных соотношений легко показать, что коммутаторы операторов и т.д. имеют значения, полученные в разд. 10.8.

Как и ранее, мы можем ввести фоковские состояния поля, соответствующие дискретному числу возбуждений или фотонов. Однако, понятие числа возбуждений в одной моде более не имеет строгого смысла, так как отдельно взятая мода непрерывного спектра имеет нулевую меру. Теперь при обозначении фоковских состояний волновой вектор и поляризация каждого возбуждения записываются в явном виде. Например, n-фотонное фоковское состояние могло бы быть записано в виде

где индексы мод могут повторяться. Из-за непрерывности мод состояния ненормируемы в обычном смысле, но они могут быть нормированы на дельта-функцию. Ортонормированность выражается условием

где означает сумму по всем парным комбинациям индексов мод кет-вектора с индексами мод бра-вектора. Скалярное произведение обращается в нуль, если все индексы мод не совпадают, но различные векторы состояний более не являются безразмерными.

Как и ранее, мы можем получить фоковские состояния, неоднократно действуя операторами рождения на вакуумное состояние, которое обозначено как Например,

Действие операторов рождения или уничтожения на произвольное фоковское состояние задается соотношениями

которые следует сравнить с выражениями (10.4.5) и (10.4.8), соответственно. Более сложный вид выражения (10.10.8) связан с необходимостью учета возможного совпадения -моды с каждой из множества мод Последнее выражение можно получить, записав фоковское состояние в виде (10.10.6) и применив коммутационные соотношения (10.10.4) для последовательного перемещения оператора вправо, а затем воспользоваться результатом Если не совпадает ни с одной модой множества то получаем

Оператор числа частиц соответствующий числу фотонов с поляризацией волновые векторы которых находятся в пределах некоторой области определяется выражением

Он подчиняется коммутационному соотношению

где равно 1, если и нулю — в противном случае. В результате действия оператора на фоковское состояние получаем то же состояние, умноженное на собственное значение, равное числу фотонов с поляризацией и волновыми векторами, лежащими в пределах области

Непрерывные фоковские состояния образуют полное множество, так что мы можем осуществить разложение единичного оператора обычным образом в виде суммы по всем возможным проекционным операторам на фоковские состояния

С помощью этого разложения можно получить фоковское представление любого состояния или оператора электромагнитного поля, умножив его справа на выражение (10.10.12). Очевидно, что результирующее выражение в общем случае значительно менее компактно, чем соответствующее дискретное фоковское представление, например, приведенное в выражении (10.4.21). Частично по этой причине в последующих параграфах мы предпочитаем оперировать дискретным множеством мод.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление