Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.11.5. Теорема Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа.

Пусть два оператора, которые в общем случае не коммутируют друг с другом, но коммутатор коммутирует как с А, так и с В, т.е.

Тогда

Эта формула известна как теорема Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа (Campbell, 1898; Baker, 1902, 1903; Hausdorff, 1906). Эта теорема может быть доказана следующим образом. Запишем

и продифференцируем обе части этого выражения по х. Тогда

и с помощью теоремы об операторном разложении (10.11.1) получаем

так как коммутаторы более высоких порядков обращаются в нуль. Поскольку коммутирует с два члена в фигурных скобках можно рассматривать как с-числа и порядок операторов не имеет значения. Но из определения мы также можем записать

Из сравнения выражений (10.11.27) и (10.11.28) следует, что коммутируют. Тогда выражение можно проинтегрировать по х как обычное дифференциальное уравнение и получить

Правильность решения можно подтвердить непосредственным дифференцированием. Подставляя выражение для приходим к выражению (10.11.26).

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление