Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.7. Представление состояний и операторов целыми функциями

Мы видели, что разложение произвольного состояния по когерентным состояниям в виде (11.6.5) не является однозначным, и тот же недостаток свойственен разложению произвольного оператора А в виде (11.6.10). Однако, нетрудно получить однозначное представление по когерентным состояниям.

Рассмотрим матричный элемент который является представителем состояния Воспользовавшись фоковским разложением (11.2.10) состояния можно записать

Поскольку ряд абсолютно сходится для всех и всех и. Теперь учтем, что функция сама является представлением состояния и может быть рассмотрена как элемент гильбертова пространства. Кроме того, есть целая аналитическая функция от Следовательно, мы получаем простое

представление состояния через целые функции, которое является однозначным. Оно тесно связано с представлениями, которые были введены Бергманном ).

Рассмотрим сразу одно из замечательных свойств данного представления по когерентным состояниям. В общем случае, произвольное состояние определяется своим представлением по всем элементам базиса. Например, в фоковском представлении состояние определено только тогда, когда величина задана для всех целых значений от до а в -представлении оно определяется величиной заданной для всех значений от до Однако, целая функция определяется своими значениями только в некоторой конечной области, какой бы малой она ни была. Таким образом, в представлении по когерентным состояниям произвольное состояние полностью задается своими матричными элементами в некоторой произвольно малой, но конечной области значений Сразу видно, что не существует состояния, которое ортогонально группе когерентных состояний, принадлежащих некоторой малой области. Ибо, если целая аналитическая функция обращается в нуль для некоторого значения и, то она должна быть равна нулю для всех и, а такое возможно только для нулевого вектора Излишне говорить, что этот результат является следствием переполненности множества когерентных состояний. Теперь становится очевидной сила данного представления и преимущество переполненности.

Рассмотрим аналогичную проблему представления по когерентным состояниям положительно определенного, эрмитового оператора А с конечным следом. Используя опять разложения по фоковским состояниям (11.2.9) и (11.2.10), записываем

Теперь учтем, что в случае эрмитового, положительно определенного оператора а с конечным следом модуль ограничен сверху. Возможно, наиболее простой способ убедиться в этом — разложить А по его собственным состояниям где соответствующее собственное значение, которое действительно и неотрицательно. Тогда

так что

Отсюда следует, что двойной ряд в (11.7.2) абсолютно сходится для всех так что является целой аналитической функцией двух переменных и мы можем опять рассматривать функцию как однозначное представление оператора а.

Для того, чтобы функция была задана для всех значений и определяла оператор а, достаточно, вследствие ее аналитичности, задать ее в некоторой произвольно малой области значений В частности, чтобы определить весь оператор А, достаточно знать значения диагонального матричного элемента для некоторых Таким образом, для построения представления оператора и изучения его свойств можно сконцентрироваться только на диагональных матричных элементах. Действительно, пусть есть два оператора, диагональные матричные элементы которых равны на некотором интервале Тогда на этом интервале

и, поскольку функция согласно (11.7.2) есть целая функция она должна обращаться в нуль для всех если обращается в нуль в некотором интервале Таким образом,

То есть операторы определяются только своими диагональными матричными элементами, заданными в некоторой произвольно малой, но конечной области значений Это замечательное следствие еще раз подчеркивает силу представления по когерентным состояниям. Данный результат не имеет аналога ни в каком представлении, основанном на полном множестве состояний.

Зная нетрудно получить матричные элементы оператора А в некотором другом представлении. Например, если формально рассматривать как независимые переменные, то из (11.7.2) получим

Таким образом, диагонального матричного элемента достаточно для порождения всех матричных элементов Более того, для этого достаточно знать только в окрестности Как только определен можно подставить его в (11.7.2) и получить любой недиагональный элемент

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление