Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.6.3. Многократные комплексные гауссовские случайные переменные

Мы уже видели, что комплексная гауссовская случайная величина z с нулевым средним имеет следующую плотность вероятности [см. (1.5.31)]:

где является дисперсией z. Если является набором из комплексных гауссовских случайных переменных, то общая многомерная гауссова плотность вероятности имеет вид

где является матрицей смешанного второго момента; является матрицей-столбцом с элементами является эрмитово-сопряженным значением. Так как каждая комплексная случайная величина включает в себя две действительные случайные величины, имеет структуру, которая напоминает квадрат от Точно так же, как для действительной случайной величины х, матрица является положительно определенной.

Характеристическая функция может быть получена путем выполнения -мерного фурье-преобразования Введем набор комплексных параметров в виде матрицы-столбца и. Тогда матричное произведение является чисто мнимым, и является -мерным фурье-ядром. В результате характеристическую функцию можно написать в компактной форме

Анализ, подобный тому, что был использован ранее для вывода производящей функции моментов, приводит к формуле

Следует отметить, что однократная сумма в этой формуле является чисто мнимой, а двойная сумма является действительной, — точно так же, как и для действительных случайных величин.

Теорема о гауссовском моменте имеет эквивалентный вид для случайных комплексных переменных. Можно показать, что (Metha, 1965, Прил. А2)

Отсюда следует, например, что если то

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление