Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.7.4. Волновые пакеты в качестве мод

Моды, которые мы рассматривали до настоящего момента, являлись плоскими волнами с определенным волновым вектором к и определенной поляризацией Однако, можно использовать линейные комбинации плоско-волновых мод и создать разного рода волновые пакеты, которые также будут решениями волнового уравнения. Если эти различные волновые пакеты образуют полный набор, то они образуют базис для представления волновых векторов, и мы можем рассматривать их в качестве альтернативного набора мод электромагнитного поля. Мы снова убедимся в справедливости утверждения, что если поле содержит только одну возбужденную моду данного нового типа, то оно когерентно во всех порядках.

Рассмотрим волновые пакеты, которые сформированы в виде линейной комбинации мод плоских волн

где индекс использован для обозначения комбинации индексов волнового вектора и поляризации. Коэффициенты выбираются как элементы унитарной матрицы так, чтобы

Множитель в (12.7.27) есть тот же самый коэффициент, который входит в разложение (11.12.3) комплексного вектора поля и является различным для различных векторов. Таким образом,

функции тесно связаны с выбором отдельного полевого вектора Но, подобно плоско-волновым модам, они удовлетворяют уравнению Гельмгольца во всем пространстве, и поэтому составляют набор мод поля. Мы можем разложить по этим модам, используя (12.7.27) и (12.7.28), и записать

Если определить новый оператор как линейную комбинацию операторов уничтожения

то можно выразить в более компактной форме

Несложно увидеть, что операторы и сопряженные им с играют роль операторов уничтожения и рождения бозонов для возбуждений, характеризуемых модовыми функциями Из коммутационных соотношений (10.3.9)-(10.3.11) для операторов следует, что операторы с подчиняются коммутационным соотношениям

которые представляют собой типичные правила коммутации для операторов уничтожения и рождения бозонов. В силу этих соотношений возбуждения поля, соответствующие различным функциям мод могут быть созданы независимо.

Рассмотрим теперь поле, в котором возбуждена только одна из мод в то время как все остальные являются незаполненными. В таком случае оператор плотности для поля должен иметь форму произведения

Так как для из (12.7.31) следует, что корреляционная функция задается выражением

которое является произведением функции от и функции от более общем случае для нормально упорядоченной функции любого порядка мы имеем

где использованы сокращенные обозначения разд. 12.5. Из этого выражения видно, что корреляционные функции произвольного порядка удовлетворяют условию представления в виде произведения, и что степень когерентности второго порядка равна единице, когда возбуждена только одна мода поля, даже тогда, когда эта мода является модой дпнного более общего вида. Если мы воспользуемся определением (12.6.7)

для то увидим, что степень когерентности любого четного порядка в этом случае также равна единице. Так как вид оператора плотности связанного с одним возбуждением был оставлен совершенно произвольным, ясно, что существует огромное множество различных состояний, удовлетворяющих условию когерентности.

Утверждение, обратное данному результату, также верно. Поле, удовлетворяющее условию (12.7.1) когерентности второго порядка, должно иметь оператор плотности вида (12.7.34), соответствующий возбуждению только одной моды произвольной формы. Для того, чтобы показать это, мы начнем с соотношения (12.7.7), которое выполняется для любого поля, обладающего когерентностью второго порядка, и которое запишем в виде

где некоторая фиксированная пространственно-временная точка, некоторый фиксированный декартовый индекс. В этом уравнении мы не подразумеваем никакого суммирования. Теперь мы умножим обе части этого уравнения на

суммируя по и интегрируя по по всему пространству. Тогда с помощью (12.5.21) результат можно записать как

где z обозначает обозначает определяется формулой

Зависимость от пропадает при интегрировании, и таким образом, является постоянной величиной. Рассмотрим теперь оператор плотности в фоковском представлении. Он может быть записан в виде

если используется представление по фоковским состояниям (10.4.16). С помощью (12.7.38) и эрмитово сопряженного ему выражения мы можем упростить (12.7.40) и выразить его в виде

где

Теперь воспользуемся полиномиальной теоремой в виде

и выполним частное суммирование в (12.7.41) при фиксированных В результате получим

Появившийся в этом выражении оператор определяет новый оператор рождения для новой немонохроматической моды поля. Если в (12.7.30) задать в виде

где В остается конечной, пока конечно среднее число фотонов в поле, то можно переписать (12.7.43) следующим образом

Анализ этого выражения показывает, что оно соответствует полю, в котором из нового набора мод возбуждена только первая, тогда как все остальные моды незаполнены. Таким образом, мы показали, что условие когерентности второго порядка означает, что единственный существующий тип возбуждения, т.е. фотон, можно связать лишь с одной модой поля. Однако природа этого возбуждения является достаточно произвольной. Это состояние может быть либо состоянием дискретного возбуждения, т.е. фоковским состоянием, либо когерентным состоянием, либо некоторым произвольным нечистым состоянием. В особом случае, когда состояние соответствует когерентному возбуждению одной моды, т.е. собственному состоянию оператора также можно показать, что это состояние является когерентным состоянием в базисе, создаваемым любым другим набором мод (Titulaer and Glauber, 1966).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление