Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.11.3. Собственные состояния ...

Рассмотрим теперь собственные состояния оператора которые, в определенном смысле, соответствуют локализованным возбуждениям электромагнитного поля. Рассмотрим состояние возникающее, когда оператор рождения действует на вакуум. С помощью (12.11.13) имеем

поскольку Это уравнение показывает, что является собственным состоянием принадлежащим собственному значению которое равно единице, если лежит внутри объема У, и нулю в обратном случае.

Аналогичным образом можно показать, что

так что также есть собственное состояние с собственным значением равным числу точек которые лежат внутри объема У. Следовательно, спектр подобно спектру является набором чисел Таким образом, представляется возможным интерпретировать собственное состояние в (12.11.17), как состояние, при котором фотоны приблизительно локализованы в при условии, что мы не стремимся определить местоположения с точностью, превышающей несколько оптических длин волн.

Хотя состояния типа не нормированы на единицу и не являются строго ортогональными, тем не менее, они формируют полный набор. Два различных состояния

могут являться приблизительно ортогональными даже если при условии, что не находится близко к для любого целого Тогда мы можем построить параллелепипед объема У, с линейными размерами много большими длины волны, который выбирается таким образом, чтобы число точек внутри объема У, связанных с состоянием было отлично от числа точек, связанных с состоянием Эта ситуация пояснена на рис. 12.6 для двух состояний т.е. имеющих по три фотона каждый, для которых заметно далеки друг от друга. Объем У, показанный прерывистой линией, содержит две точки, связанные с состоянием и только одну точку, связанную с состоянием Из этого можно заключить, что состояние принадлежит собственному значению 2 оператора в то время как состояние принадлежит собственному значению 1 того же самого оператора. Так как это собственные состояния одного и того же эрмитового оператора, но принадлежащие разным собственным значениям, они должны быть (по крайней мере, приблизительно) ортогональными.

Рис. 12.6. Иллюстрация того, что объем может быть выбран так, что он содержит два возбуждения, связанные с состоянием одно возбуждение, связанное с состоянием

Для того, чтобы показать, что состояния типа приведенные выше, образуют полный набор, отметим, что, в соответствии с обратным фурье-преобразованием разложения для [сопряженное выражению (12.11.1)], мы имеем

Теперь учтем, что любое фоковское состояние с заполненными модами, принадлежащими набору можно выразить в виде

Подставляя из (12.11.19) в это выражение, сразу видим, что мы получили разложение для фоковского состояния по состояниям типа задаваемыми выражением (12.11.18). Поскольку фоковские состояния формируют полный набор, то это также справедливо и для собственных состояний

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление