Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Стационарность и эргодичность

Случайные функции от времени часто имеют свойство, согласно которому характер флуктуаций не изменяется со временем, даже если любая реализация ансамбля изменяется непрерывно во времени. Говорят, что такой процесс является статистически стационарным (см. пример на рис. 2.2). Более точно мы называем случайный процесс стационарным, если все плотности вероятности описывающие флуктуации, инвариантны при произвольном сдвиге начала отсчета, т.е. если

При данных обстоятельствах значение математического ожидания любой функции от также инвариантно при смещении начала отсчета, т.е.

Из (2.2.1) следует, что для стационарного процесса не может зависеть от То же самое справедливо и для математического ожидания Выбирая имеем

Рис. 2.2. Реализации стационарного случайного процесса

Также выбирая из уравнения (2.2.1) имеем

так что совместные вероятности можно выразить в виде функций разностей между одной из временных аргументов и остальными аргументами. В частности, для автокорреляционной функции получим

для всех значений так что она зависит только от разности двух временных аргументов. Поэтому часто записывают как Заменяя в уравнении на мы видим, что является симметричной, т.е.

для действительных стационарных процессов. В более общем случае можно показать [рассуждая так же, как при выводе (2.2.5)], что для корреляционной функции -порядка стационарного случайного процесса

для всех Однако корреляции высших порядков встречаются не так часто.

Когда интерес представляют только среднее и корреляционная функция второго порядка часто используется более слабая форма стационарности. В случае, когда для его среднее не зависит от времени и его автокорреляционная функция зависит от только через их разность, говорят, что случайный процесс является стационарным в широком смысле.

Если вместо действительного случайного процесса мы имеем дело с комплексным случайным процессом автокорреляционная функция определяется уравнением

В том случае, когда процесс является стационарным, по крайней мере, в широком смысле, не зависит от и подчиняется условию эрмитовости

вместо условия симметрии (2.2.6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление