Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.5. Взаимодействие атома с квантовым полем: общее рассмотрение

15.5.1. Гейзенберговские уравнения движения

В предыдущем параграфе мы использовали нестационарную теорию возмущений для вычисления скоростей перехода при протекании определенных процессов. Эти вычисления всегда ограничены короткими временами взаимодействия и они не позволяют исследовать зависящие от времени свойства процессов в целом, несмотря на то, что нам удалось получить некоторую информацию о спонтанном затухании атома, исходя из простых соображений энергетического баланса. Чтобы исследовать процесс взаимодействия в более общем виде, как функцию времени, и вычислить некоторые многовременные корреляционные функции, удобно использовать картину Гейзенберга. Начнем с вывода гейзенберговских уравнений движения

для некоторых ключевых динамических переменных и проинтегрируем их по времени. Средние значения можно, тогда, вычислить, используя любое начальное состояние.

Для начала будем использовать гамильтониан (15.4.1) для поля и атома, полагая, что атом неподвижен и находится в начале системы координат. Разложение векторного потенциала по модам запишем следующим образом:

При таком выборе гамильтониана гейзенберговские уравнения движения (15.5.1) для атомных операторов принимают вид

тогда как уравнения движения для операторов электрического и магнитного полей сводятся к уравнениям Максвелла

Эффективная плотность тока пропорциональна поперечной дельта-функции и задается выражением (Kimble and Mandel, 1976)

т. е.

Как хорошо известно, из уравнений Максвелла следует, что векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению

решение которого имеет вид так называемого запаздывающего потенциала

Здесь единичная ступенчатая функция, которая обращается в нуль при решение однородного волнового уравнения или волнового уравнения для свободного поля. Как всегда, полное поле получается добавлением вклада, создаваемого источником, к решению, описывающему свободное поле.

С помощью (15.5.7) электрическое или магнитное поле в произвольной пространственно-временной точке может быть выражено через атомный ток или через и Например, можно показать, что в низшем порядке по для некоторой точки из области дальнего поля при

Это выражение похоже на хорошо известное выражение для дальнего поля осциллирующего классического диполя (ср. Born and Wolf, 1980, разд. 2.2.3). При выводе (15.5.8) мы использовали приближение, заключающееся в замене производной по времени от доминирующим членом — задаваемым выражением (15.5.3). Выражение (15.5.8) естественно распадается на два соответствующих положительно-частотной и отрицательно-частотной частям поля. Однако оно справедливо только для дальнего поля, тогда как (15.5.3) и (15.5.4) включают поле в точке

Чтобы определить поле в точке нахождения атома, удобно начать с гейзенберговского уравнения движения для одномодового оператора а именно:

и синтезировать подходящие полевые операторы из Прежде чем интегрировать данное уравнение, заменим атомный оператор осциллирующий согласно (15.5.3) на частоте, близкой к на медленно изменяющуюся динамическую переменную определяемую в виде

Из (15.5.3) следует, что удовлетворяет уравнению движения

где оператор разложен на положительно- и отрицательно-частотные части Поскольку атомные и полевые операторы, взятые в один и тот же момент времени, коммутируют, порядок операторов в каждом слагаемом может быть выбран произвольно. Мы приняли нормальный порядок, поскольку он окажется позже более удобным. Подставляя (15.5.10) в (15.5.9) и формально интегрируя полученное выражение, получаем

Данная формула выражает амплитуду моды в виде суммы амплитуды свободного поля и вклада, создаваемого атомным источником. Суммируя по всем модам, можно получить положительно- или отрицательно-частотные части оператора или любого другого полевого оператора. Таким образом, например, имеем

где записали

для однородной части (или части, соответствующей свободному полю) оператора векторного потенциала в отсутствии атома. Суммы по индексу поляризации приводят, с учетом тензорного соотношения для векторов поляризации (10.2.19в)], к результатам

а суммы по можно заменить интегралом согласно обычному правилу,

Интегралы по в и легко вычисляются так же, как в разд. 15.4, и мы находим, что

независимо от того, является ли действительной величиной, как в случае перехода или комплексной величиной, как в случае перехода С другой стороны, второй член под знаком суммы в (15.5.13) дает

Поэтому для простоты рассмотрим переход типа В этом случае (15.5.13) сводится к

и для можно вывести подобным же образом аналогичное выражение

Подставляя эти результаты в (15.5.11), приходим к уравнению

Это есть интегро-дифференциальное уравнение для в котором полевые операторы присутствуют только в виде операторов свободного поля или операторов, взятых в начальный момент времени. Таким образом, из уравнения исключено неизвестное поле.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление