Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.5.2. Приближенное решение — коэффициент Эйнштейна A и лэмбовский сдвиг

До сих пор уравнения движения выводились непосредственно из гамильтониана (15.4.1) без каких-либо допущений. Однако теперь для упрощения вычислений (см. ссылку в разд. 15.5.1) желательно использовать некоторые приближения. Разложим под знаком интеграла в (15.5.18) в ряд Тейлора в точке

и подставим в (15.5.18). В уравнении движения для оставим члены только до первого порядка включительно по константе тонкой структуры Если записать в виде где вектор имеет длину порядка размера атомной электронной орбиты, то где длина волны, соответствующая атомной резонансной частоте Следовательно, члены первого порядка по константе тонкой структуры а являются членами второго порядка по Поскольку величина сама порядка или выше, необходимо оставить только первый член в разложении, и с помощью соотношений

уравнение (15.5.18) сводится к

Результат сделанного приближения, следовательно, состоит в замене под знаком интеграла в (15.5.18) на его наиболее позднее значение что, к тому же, сводит интегро-дифференциальное уравнение (15.5.18) к обыкновенному дифференциальному уравнению. По этой причине данная процедура иногда называется приближением кратковременной памяти, или марковским приближением. Однако подчеркнем, что мы пришли к уравнению (15.5.20), не предполагая кратковременную память для атомной системы, а ограничивая наше вычисление членами порядка

Вычисление двойного интеграла проведем несколько эвристически. Выразим интеграл по в виде разности между двумя интегралами, записывая

Первые два интеграла по дают функции соответственно, которые можно записать в виде (см. разд. 3.1.1 и прил. А4.1)

где обозначает главное значение интеграла по Коши. Второй двойной интеграл может быть записан в виде

при условии, что равен

Последний двойной интеграл в выражении для можно рассмотреть подобным образом и показать, что он также равен очень маленькой величине. Следовательно, в хорошем приближении

Окончательно подставляя полученное выражение в (15.5.20), получаем уравнение движения

Здесь

— константа затухания, та же, что в разд. 15.4, 7 — параметр частотного сдвига, называемого лэмбовским сдвигом, который задается формулой

Физический смысл 7 станет ясным, если рассмотреть спектр света, излучаемого атомом. Интеграл расходится логарифмически в пределе больших частот, поэтому для получения конечного значения необходимо обрезать его по частоте. Такое обрезание появляется автоматически в релятивистском вычислении, где верхний предел имеет порядок масса электрона). Выражение (15.2.22а) похоже на выражение, вычисленное впервые Бете (Bethe, 1947) для реального атома водорода, за исключением того, что он получил ряд членов типа (15.2.22а), отвечающих всем возможным переходам между одним заданным уровнем и всеми оставшимися уровнями. Бете вычислил, что лэмбовский сдвиг между уровнями атома водорода равен что хорошо согласуется с экспериментальными результатами (Lamb and Retherford, 1947). Если интеграл в (15.5.22а) обрезать сверху на частоте то он вычисляется и дает значение, очень близкое к так что

Однако у реальных атомов число энергетических уровней больше двух, так что данное значение 7, хотя и является конечным, представляет собой грубую оценку лэмбовского сдвига реального атома.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление