Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.7.2. Неортогональность и переполненность

Точно так же, как в разд. 11.6 было показано, что когерентные состояния электромагнитного поля являются неортогональными и линейно зависимыми, мы установим, что и атомные когерентные состояния имеют аналогичные свойства. Сначала рассчитаем скалярное произведение двух таких состояний. Используя (16.7.5) найдем, что

Из этой формулы видно, что атомные когерентные состояния являются должным образом нормированными и что они в общем случае не ортогональны. Однако для любого заданного атомного когерентного состояния существует ортогональное атомное когерентное состояние имеющее В этом отношении атомные когерентные состояния отличаются от когерентных состояний поля, среди которых не существует двух строго ортогональных состояний.

Выражение (16.7.13) может быть представлено в другой форме, которая выявит геометрическое соотношение между векторами Блоха ортогональных атомных когерентных состояний. Вводя полярные координаты соответствующих векторов Блоха, из (16.7.13) с помощью (16.7.11) получаем

где угол между двумя векторами Блоха ( Следовательно,

Из этого выражения сразу видно, что ортогональные когерентные состояния соответствуют диаметрально противоположным векторам на сфере Блоха. Отметим также, что если I является очень большим, то скалярное произведение двух атомных когерентных состояний, которые лишь немного отличаются друг от друга может быть очень малым. В этом смысле различные атомные когерентные состояния являются почти ортогональными и ведут себя в некоторой степени подобно когерентным состояниям поля.

Для того, чтобы проверить полноту набора состояний принадлежащих подпространству гильбертова пространства, соответствующего всем состояниям Дике с кооперационным числом I, проинтегрируем проектор по всему фазовому пространству. Тогда из (16.7.5) и (16.7.11) получаем

Интеграл дает -функцию

Поэтому окончательно имеем

или, поскольку сумма по в пределах подпространства всех состояний Дике с определенным кооперационным числом I должна быть равна единице,

где обозначает элемент телесного угла.

Отсюда следует, что атомные когерентные состояния образуют полный набор для представления любого атомного состояния выражаемого в виде линейной комбинации состояний Дике. Достаточно лишь умножить слева на единицу в виде (16.7.15), и получим

В частности, если является одним из атомных когерентных состояний то, поскольку два различных состояния в общем случае не являются ортогональными, получаем представление одного атомного когерентного состояния по полному набору состояний. Следовательно, если не считать тех состояний, которые ортогональны друг другу, различные атомные когерентные состояния не являются линейно независимыми, и их набор является переполненным. Тем не менее, как и в случае когерентных состояний поля, он часто образует удобный базис. Можно показать, что благодаря переполненности, в данном случае, как и в случае электромагнитного поля, также существует диагональное представление оператора плотности атомной системы по когерентным атомным состояниям, и что весовая функция представления является в общем случае плотностью квазивероятностей (Arecchi, Courtens, Gilmore and Thomas, 1972).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление