Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17.4.4. Двухвременные корреляционные функции

До сих пор мы рассматривали соотношения между различными динамическими переменными без введения квантовых состояний. Однако физика, в конечном счете, описывается квантово-механическими средними значениями, для вычисления которых должно быть определено квантовое состояние. Предположим, что состояние системы вместе с резервуаром можно представить в виде прямого произведения состояний, характеризующих систему и резервуар каждый из которых может быть в смешанном состоянии, описываемом оператором плотности. Кроме того, предположим, что состояния осцилляторов резервуара удовлетворяют соотношениям

где среднее число осцилляторов резервуара на частоте и. Эти условия удовлетворяются, если все моды резервуара независимы, и если оператор плотности для каждой моды диагонален в представлении чисел заполнения. Иногда даже предполагают, что осцилляторы резервуара находятся в тепловом равновесии при температуре В этом случае Однако это лишь примеры состояний, удовлетворяющих условиям (17.4.27), которые иногда называют гипотезой случайных фаз.

Из (17.4.17) и (17.4.27) сразу следует, что

точно так же, как для классических сил Ланжевена. Более интересной является двухвременная корреляционная функция

при записи которой были использованы соотношения (17.4.27). Как и прежде, заменим сумму интегралом, вводя плотность и полагая В результате найдем, что

Подынтегральное выражение целиком определяется осциллирующим множителем а интеграл имеет такой же вид, как в (17.4.12), если не считать множителя В том случае, когда последний является медленно меняющейся функцией от и в окрестности можно вынести множитель за знак интеграла, который сводится тогда к интегралу из (17.4.12). В результате получим

Таким образом, автокорреляционная функция ланжевеновских сил имеет такую же структуру, как их коммутатор (17.4.20), и имеет также очень короткий временной интервал, на котором она существенно отлична от нуля. В той же степени, в какой допустима замена на -функцию, как в формуле (17.4.13), справедливо соотношение

Таким образом, случайные силы характеризуются кратковременной памятью и являются марковскими. Еще раз отметим, что та же константа которая определяет затухание системы, определяет и флуктуации сил Ланжевена, и это соответствует флуктуационно-диссипационной теореме. В случае антинормального упорядочения операторов с помощью (17.4.20) сразу получаем вместо выражений (17.4.30) формулы

Корреляционные функции более высокого порядка также легко вычисляются из (17.4.17), если предположить, что резервуар находится в тепловом равновесии при температуре Например, можно показать, что для нормально упорядоченных корреляционных функций

где означает сумму по всем парным комбинациям операторов В этом выражении можно распознать гауссовскую теорему моментов [ср. (1.6.33)], и оно предполагает, что квантовый шум можно рассматривать как гауссовский процесс. Из формулы (17.4.28), и следующих за ней, видно, что средние значения операторов резервуара не зависят от состояния осциллятора системы 5, что согласуется с предположением о том, что резервуар является большим и слабо возмущается системой

Рассмотрим корреляционные функции операторов системы и резервуара. Из (17.4.17), (17.4.22) имеем

Интеграл обращается в нуль в силу (17.4.29), а среднее значение вследствие предположения о факторизации, представляется в виде произведения средних и обращается в нуль в силу (17.4.27). Поэтому

С другой стороны, та же процедура с учетом соотношения (17.4.30а) дает

Поскольку ведет себя почти как дельта-функция, мы получаем разные решения в зависимости от знака Если и почти для всех значений можно аппроксимировать интеграл как и прежде, а именно

С другой стороны, если область интегрирования не включает в себя пик функции и почти для всех интеграл исчезающе мал. В случае, когда можно предположить, что интеграл охватывает половину площади под кривой Таким образом, имеем

и таким же образом можно показать, что

Эти соотношения означают, что переменные системы всегда некоррелированы с квантовыми силами Ланжевена, если последние взяты в моменты времени, большие хотя это не так для сил, взятых в более ранние моменты времени. В этом отношении силы Ланжевена также ведут себя как соответствующие классические силы.

Полученные результаты относятся не только к операторам и сопряженным им. Например, построив оператор с помощью (17.4.22), можно показать, что

при условии, что все тройные корреляторы типа обращаются в нуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление