Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

18.3.1. Уравнение Фоккера — Планка

Как было показано в разд. 2.9, ланжевеновскому уравнению движения с марковским шумом соответствует уравнение движения для плотности вероятности известное как уравнение Фоккера — Планка. Удобно заменить комплексную амплитуду на двумерный действительный вектор с составляющими и которые, соответственно, являются действительной и мнимой частями Уравнение Фоккера — Планка, соответствующее (18.3.1), тогда принимает вид (см. разд. 2.9)

Решение этого уравнения дает возможность вычислить различные средние Уравнение содержит три параметра, два из которых можно исключить, перенормируя амплитуду время и параметр накачки а. Если ввести новую безразмерную амплитуду при помощи преобразования —у и новые безразмерные параметр а и время осуществив замены а то придем к следующему уравнению

в котором для простоты опущены штрихи. Уравнение содержит только один параметр — параметр накачки а и должно быть справедливо для любого лазера, активная среда которого состоит из двухуровневых атомов, при условии, что интенсивность света не слишком высока. Для конкретного лазера решение можно, конечно, переписать в размерном виде. Мы рассмотрим общее временное решение уравнения (18.3.4) позже в разд. 18.6 и разд. 18.7.

Как только уравнение будет проинтегрировано и получено решение для некоторого заданного начального состояния можно будет сразу вычислить любое одновременное среднее лазерного поля, например

Однако, еще не позволяет вычислить многовременные корреляционные функции. Для этого требуется дополнительная информация, такая как совместная плотность вероятности для амплитуд поля в различные моменты времени К счастью, выражается через условную плотность вероятности для амплитуды поля в момент времени при заданной амплитуде в момент и плотность посредством соотношения

Далее, условная плотность вероятности также является решением уравнения Фоккера —

Планка с определенными граничными условиями. По определению, если два момента времени равны, то

Это означает, что представляет собой функцию Грина уравнения в частных производных (18.3.4). Как только найдены и функция Грина становится возможным вычисление любой двухвременнбй тензорной корреляционной функции, такой как с помощью выражения

Более того, вследствие марковского характера флуктуаций, можно выразить совместные плотности вероятности более высокого порядка через произведения функций Грина следующим образом

Эта формула позволяет также вычислить корреляции более высокого порядка, например

Таким образом, как только получено общее решение уравнения (18.3.4), проблему того, как ведет себя лазерное поле, в принципе, можно считать решенной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление