Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20.3. Решение основного кинетического уравнения

В разд. 18.6 был описан метод решения уравнения Фоккера — Планка для лазера, в котором задача сводилась к решению уравнения Штурма — Лиувилля. Было получено решение в виде бесконечного ряда, который не собирается аналитически, но пригоден для численных расчетов. Однако, уравнение Фоккера — Планка (20.2.4) для линейного усилителя значительно проще и может быть решено аналитически (Carusotto, 1975; Abraham and Smith, 1977; Rockower, Abraham and Smith, 1978). Мы не будем здесь выводить это решение, а лишь приведем ответ, предоставляя читателю возможность проверить, удовлетворяет

ли оно уравнению (20.2.4). Можно показать, что описывающая поле усилителя в момент времени которое мы будем считать полем на выходе усилителя, выражается в виде простой свертки поля на входе, то есть плотности в фазовом пространстве начальный момент времени, с плотностью фазового пространства теплового поля [ср. (13.2.3)], связанного со спонтанным излучением. Таким образом,

где

Из (20.3.2) очевидно, что есть среднее число фотонов теплового поля или поля спонтанного излучения. Мы скоро увидим, что представляет собой коэффициент усиления в момент времени Если в (20.3.1) сделать замену переменных и записать

то из структуры свертки станет ясно, что поле на выходе усилителя можно рассматривать, как результат интерференции усиленного поля на входе и поля спонтанного излучения обсуждение, приводящее к (11.8.26)]. Например, вычисляя среднюю амплитуду поля на выходе в момент из (20.3.1) получаем

Первый интеграл в правой части дает нуль, поскольку среднее значение теплового поля равно нулю, т.е. тогда как второй член дает поскольку интеграл по равен единице. Окончательно

Следовательно, среднее поле на выходе равно среднему полю на входе, умноженному на величину которая является коэффициентом усиления, ибо среднее поле спонтанного излучения равно нулю. Аналогичным образом можно показать, что

Поле спонтанного излучения, однако, дает вклад в среднее число фотонов на выходе. Таким образом, из (20.3.1) с помощью оптической теоремы эквивалентности (см. разд. 11.9) имеем

поскольку два последние интеграла в правой части обращаются в нуль. Следовательно, в поле на выходе в среднем усилитель дает фотонов, а спонтанное излучение дает фотонов.

20.3.1. Корреляции входа — выхода

С тем чтобы показать, что поле на выходе усилителя, если не считать спонтанного излучения, когерентно полю на входе, вычислим функцию взаимной корреляции входа — выхода Для этого нам необходимо построить функцию Грина или условную плотность в фазовом пространстве, исходя из (20.3.1) и полагая В результате получаем выражение

и, следовательно,

где было использовано (20.3.9) и было положено Следовательно,

поскольку интеграл, содержащий член обращается в нуль. Таким образом, функция взаимной корреляции полей на входе и выходе совпадает с автокорреляционной функцией поля на входе, если не считать коэффициента усиления

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление