Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20.4. Статистика фотонов

Получив общее выражение (20.3.1) для поля на выходе через поле на входе, можно легко связать различные моменты числа фотонов на выходе усилителя с аналогичными моментами на входе, или, обобщая, можно связать распределение вероятности на выходе с распределением вероятности на входе (Friberg and Mandel, 1983, 1984).

Рассмотрим второй факториальный момент числа фотонов. Используя общее соотношение (12.10.13) и оптическую теорему эквивалентности для нормально упорядоченных операторов, получаем для второго факториального момента числа фотонов на выходе Воспользовавшись далее (20.3.1) и полагая находим

поскольку все остальные члены при интегрировании дают нуль. После подстановки гауссовских моментов получаем формулу

Объединяя (20.3.8) с (20.4.1), легко находим, что

Напомним теперь, что разность описывает отклонение от статистики Пуассона и является либо положительной либо отрицательной в зависимости от того, являются ли флуктуации супер- или субпуассоновскими. В последнем случае состояние поля не имеет классического описания. Из анализа выражения (20.4.2) ясно, что фотоны на выходе усилителя не могут быть субпуассоновскими, если фотоны на входе не являются субпуассоновскими. В общем случае статистика на выходе является субпуассоновской, если на входе выполняется соотношение

Введем обозначение

где когда статистика является субпуассоновской. Тогда из неравенства (20.4.3) следует, что субпуассоновская статистика на выходе усилителя будет, если

что вследствие квадратичной структуры левой части, означает

Но из определения (20.3.3) следует, что

Подставляя последнее выражение в левую часть неравенства (20.4.5), получаем верхнюю границу для а именно,

Теперь учтем, что возрастает монотонно при увеличении и ограничено сверху величиной поскольку Следовательно, неравенство (20.4.7) означает, что

Но не может быть больше 1, если статистика является субпуассоновской, так что

где равенство возможно только если когда атомная система полностью инвертирована. Таким образом, показано, что если фотоны на выходе усилителя должны быть субпуассоновскими, то коэффициент усиления по интенсивности не должен превышать 2. Как только превышает 2, неклассическая статистика фотонов исчезает, каким бы неклассическим не был свет на входе.

Значение соответствует так называемому «клонирующему» значению коэффициента усиления, при котором один фотон на входе усилителя приводит к двум подобным фотонам на выходе, если не считать вклада спонтанного излучения. Но среднее число фотонов вносимых спонтанным излучением, не является ничтожно малым. Из (20.4.6) следует, что

так что когда Таким образом, на каждый усиленный фотон, в среднем, приходится по крайней мере один спонтанно испущенный фотон.

20.4.1. Распределения вероятностей

Используя (20.3.1), несложно вычислить вероятность того, что на выходе усилителя будет фотонов, и связать ее с соответствующей вероятностью на входе Вычисление, в принципе, несложно,

хотя несколько громоздко, и мы изложим его лишь в общих чертах (Friberg and Mandel, 1983, 1984). Из общего соотношения [ср. (12.10.2)] между и плотностью в фазовом пространстве а именно

имеем

Полагая и интегрируя сначала по а затем по находим

где модифицированная функция Бесселя нулевого порядка и вырожденная гипергеометрическая функция.

Если теперь разложить в степенной ряд и почленно проинтегрировать по то получим разложение в ряд для

где

Сравнение с (20.4.11) показывает, что имеет структуру входного распределения если не считать параметр Действительно, вспоминая рассмотрение фотоэлектрического детектирования, приведенное в разд. 14.8, мы видим, что а) имеет вид вероятности регистрирования фотона детектором, поле на входе которого описывается функцией а эффективный квантовый выход которого равен а. Эта интерпретация а позволяет выразить а) в альтернативной форме — в виде свертки Бернулли между и вероятностью детектирования выходящих из падающих фотонов, т.е.

Фактически, интерпретация через квантовый выход имеет смысл только при условии, если так что а является вероятностью. Однако выражения (20.4.15) и (20.4.16) формально эквивалентны, независимо от того, является ли а вероятностью.

Подставляя выражение (20.4.16) для о в формулу (20.4.14) и меняя порядок суммирования, приходим окончательно к выражению

которое выражает вероятность на выходе усилителя через вероятность на входе. Излишне говорить, что должно выть вероятностью, независимо от того, является ли вероятностью Рассмотрим более внимательно вид Из (20.4.6) сразу следует, что

Если коэффициент усиления не превышает то интерпретация через вероятность регистрации теряет силу. В частности, если система атомов в усилителе света полностью инвертирована, так что то данная интерпретация всегда ложна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление