Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.8. Основные уравнения в дифференциальной форме

Теперь получим уравнение движения для в форме дифференциального уравнения в частных производных, которое часто оказывается более полезным чем интегро-дифференциальное уравнение (2.7.7).

2.8.1. Дифференциальное уравнение Крамерса — Мояля

Как и прежде, в качестве отправной точки мы воспользуемся уравнением (2.7.1) для которое позволит нам выразить скорость изменения в виде

Мы опустили нижние индексы 1,1 у подразумевая, что это соотношение действительно является полезным только тогда, когда есть плотность вероятности перехода. Выполняя замену переменных запишем

Подынтегральное выражение можно рассматривать как функцию двух переменных Разложим в ряд Тейлора по переменной у в окрестности точки сохраняя z постоянной

При подстановке этого разложения в интеграл уравнения (2.8.1), получим уравнение

Теперь поменяем в этом выражении порядок операций суммирования и интегрирования и проинтегрируем почленно. Член с при интегрировании дает и сокращается с последним слагаемым. Для оставшихся членов определим величины

которые известны как моменты перехода случайного процесса Момент перехода пропорционален моменту изменения процесса за короткий интервал при условии, что начальное значение равно х в момент времени Иногда это выражается в виде

С помощью определения (2.4.8а) уравнение (2.8.3) можно переписать в более компактной форме

Это уравнение известно как дифференциальное уравнение Крамерса — Мояля (Kramers, 1940; Moyal, 1949). В общем, оно представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных бесконечного порядка, несмотря на то, что, как мы увидим, в особых случаях порядок может стать конечным.

Влияние первого члена справа, содержащего на изменение в течение короткого интервала определяется как

и иллюстрируется на рис. 2.7а для случая, когда положительная константа. Градиент определяет изменение и член, содержащий если он положителен, очевидно, приводит к смещению плотности вероятности вправо. Поэтому называют коэффициентом дрейфа. Влияние члена, содержащего на определяется формулой

и иллюстрируется на рис. 2.7б для случая, когда постоянная положительная величина. Очевидно, наличие приводит к тому, что плотность вероятности уширяется, поэтому называют коэффициентом диффузии. Высшие моменты перехода не имеют общепринятых названий.

Наконец, снова отметим, что хотя уравнение (2.8.5) было получено без явного использования марковского предположения, ибо уравнение (2.7.1), используемое в качестве отправной точки, справедливо в самом общем случае, результаты оказываются полезными только для марковских процессов первого порядка. Причина этого в том, что только когда представляет собой плотность вероятности перехода, моменты перехода определяются динамикой случайного процесса и не зависят от вероятностей по в предыдущие моменты времени.

Рис. 2.7. Влияние члена дрейфа а и диффузного члена на плотность вероятности за короткий интервал времени от

Если есть марковский процесс первого порядка, то нетрудно заметить, что плотность вероятности перехода также должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных, подобному уравнению (2.8.5). Из соотношения Смолуховского — Чепмана — Колмогорова (2.6.8) имеем

Это соотношение вполне аналогично (2.7.1), за исключением того, что в обеих частях последнего нужно заменить на условную плотность вероятности или на плотность вероятности перехода Поскольку значение не играет роли при дифференцировании или интегрировании, способ, который был использован при выводе уравнения (2.8.5), можно повторить шаг за шагом, и вместо уравнения (2.8.5) мы получим

Следовательно, подчиняются одному и тому же уравнению движения для марковского процесса первого порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление