Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.9. Уравнение Ланжевена и уравнение Фоккера — Планка

Многие процессы в природе описываются уравнением движения в общей форме

где детерминированная функция от случайная функция от Например, если представляет собой импульс частицы, совершающей броуновское движение, то левая часть есть скорость изменения импульса, а правая часть представляет флуктуирующую силу, действующую на частицу. Эта

сила включает в себя кратковременное среднее и быстро осциллирующую часть представляющую собой отклонение от среднего. Так как случайный процесс, то в общем случае также случайный процесс, и уравнение движения известно как стохастическое уравнение.

Для того, чтобы определить статистические свойства мы должны определить статистику В качестве мы возьмем гауссовский случайный процесс с нулевым средним

с чрезвычайно быстрыми флуктуациями. Следовательно, мы аппроксимируем двухвременную корреляционную функцию дельта-функцией и запишем

При этих условиях уравнение (2.9.1) обычно называется уравнением Ланжевена. Поскольку случайный процесс эволюционирует независимо от очевидно, что не будет коррелировать с в более поздний момент времени или

Более того, последующая эволюция зависит от настоящего и определяется уравнением (2.9.1), тогда как прошлое случайного процесса не играет роли. Таким образом, марковский процесс первого порядка. Следовательно, статистика полностью определеяется плотностью вероятности и плотностью вероятности перехода которые, как мы сейчас покажем, подчиняются уравнениям Фоккера — Планка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление