Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3.4. Пример: поведение представления углового спектра для волновых полей в дальней зоне

В качестве примера, иллюстрирующего целесообразность формулы (3.3.41) для асимптотического приближения определенных видов двойных интегралов, получим теперь выражение для поведения в дальней зоне волнового поля, записанного в виде углового спектра плоских волн.

Рассмотрим волновое поле в полупространстве (предполагается, что оно является свободным), в котором поле удаляется на бесконечность. Согласно (3.2.19) пространственная часть волнового поля в этой области имеет представление углового спектра в виде

где

и — скорость света в вакууме.

Поскольку затухающие волны, т.е. плоские волны в подынтегральном выражении (3.3.70), для которых используется (3.3.716), экспоненциально убывают по амплитуде при увеличении расстояния от плоскости они в общем случае не дают вклада в поле в дальней зоне. Однако, для того, чтобы определить поведение поля в дальней зоне, можно вместо интеграла (3.3.70) рассмотреть интеграл

который содержит только вклады однородных волн.

Рассмотрим поведение в точке дальней зоны в направлении, которое задается единичным вектором Тогда

где

— расстояние от точки начала координат до точки (см. рис. 3.10). При подстановке (3.3.73) в (3.3.72) для мы получим для выражение

где

где определяется из (3.3.71а) и

Нас интересует поведение в дальней зоне, а точнее, асимптотическое поведение двойного интеграла в правой части выражения (3.3.75) при к и при фиксированных Этот интеграл имеет вид (3.3.24) и, следовательно, искомое асимптотическое приближение к определяется формулой (3.3.41) (с очевидными изменениями обозначений). Полученная «фазовая функция» имеет единственную стационарную точку, т.е. одну критическую точку первого рода в области интегрирования. Предполагая пока, что это так, и применяя к данному случаю формулу (3.3.41), получим

где стационарная точка, т.е. точка, в которой

Кроме того,

где

а нижний индекс 1 означает, что выражение в скобках вычислено в точке Также предположим, что удовлетворяется требование (3.3.28), т.е. что

Теперь посмотрим, имеет ли в данном случае фазовая функция стационарную точку. Дифференцируя выражение (3.3.77), получаем

Из уравнения (3.3.71а) следует, что

С учетом последней формулы (3.3.84) принимает вид

Аналогично,

Таким образом, функция будет стационарной [будет выполняться условие (3.3.80)] при где

Так как отношения фиксированы, из (3.3.87а) следует, что фазовая функция действительно имеет одну и только одну стационарную точку. Более того, поскольку единичный вектор,

и из формул (3.3.87) и (3.3.88) следует, что

Поскольку мы уже знаем физический смысл принципа стационарной фазы, этот результат означает, что в общем случае в представлении углового спектра поля одна и только одна плоская волна дает вклад в дальнее поле в точке, расположенной в направлении, заданном единичным вектором а именно, волна, распространяющаяся в заданном направлении; другие волны гасятся из-за интерференции.

Чтобы определить асимптотическое приближение для поля в дальней зоне в направлении нужно согласно выражениям (3.3.80) и (3.3.82) вычислить вторые производные от фазовой функции. Дифференцируя (3.3.84), получим

или, используя (3.3.85),

Следовательно, в стационарной точке определяемой формулой (3.3.89), имеем

Аналогично находим

Используя эти выражения и тождество (3.3.88), легко найдем, что величины имеют значения

Следовательно, в нашем случае, учитывая (3.3.816), имеем

Мы должны также вычислить в стационарной точке определяемой формулой (3.3.89). Очевидно, что

и, подставляя (3.3.89) в (3.3.77), получим

Окончательно, подставляя (3.3.76) и (3.3.91) — (3.3.94) в формулу (3.3.79) и вспоминая, что в общем случае поведение в дальней зоне одно и тоже, получим для дальнего поля асимптотическую формулу

где предел берется вдоль некоторого заданного направления в полупространстве

Заметим, что в силу элементарного соотношения (3.2.26) между фурье-образом поля на граничной плоскости и функцией амплитуды углового спектра, асимптотическая формула (3.2.95) находится в хорошем согласии с формулой (3.2.88), полученной на основе дифракционного интеграла Рэлея первого рода.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление