Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.1. Преобразования случайных переменных

Пусть случайная переменная, определенная на интервале с плотностью вероятности Иногда возникает необходимость совершить переход от к новой переменной у, где

и мы хотим найти плотность вероятности для у. Во-первых, предположим, что преобразование (1.3.9) имеет однозначную обратную функцию

Тогда, если х и у соответствуют друг другу, и интервал соответствует интервалу очевидно, имеем

так что

В более общем случае, если обратная функция многозначна, заданному у соответствуют различные т.е.

то следует добавить вероятности, связанные с этими различными, взаимоисключающими и мы имеем вместо выражения (1.3.11) следующее

Тот же результат может быть формально выражен в более компактной форме

если мы разложим дельта-функцию обычным способом через ее нули

Выражение (1.3.14) может быть интерпретировано в том смысле, что плотность вероятности для у получается путем интегрирования плотности вероятности по всем значениям которые соответствуют у, т.е. по таким значениям, которые ограничены условием

В качестве примера рассмотрим изменение вероятности при преобразовании которое имеет двузначную обратную функцию

В этом случае выражение (1.3.14) приводит к формуле

Далее мы рассмотрим более общую ситуацию, в которой имеется набор из переменных с совместной плотностью вероятности Перейдем к новому набору переменных с плотностью вероятности Если преобразование

имеет однозначную обратную функцию

то

где Якобиан преобразования

И снова можно выразить преобразование вероятности с помощью дельта-функций в более компактной форме

которая справедлива, когда обратная функция является многозначной.

Если случайная переменная 2 является комплексной, причем то фактически мы имеем дело с двумя переменными Плотность вероятности переменной 2 тогда является попросту совместной плотностью вероятности х и у, и условие нормировки на принимает вид

где

является сокращенным обозначением для Плотности вероятности комплексных случайных переменных могут рассматриваться как естественное обобщение вышеизложенной теории реальных случайных переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление