Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.7.3. Нормальные моды колебаний частично когерентных первичных источников и представление их взаимной спектральной плотности в виде корреляционной функции

Представления, аналогичные выражениям (4.7.9) и (4.7.38) для взаимной спектральной плотности стационарного поля, могут быть введены и для взаимной спектральной плотности стационарного источника. Аналоги этих двух формул, которые мы получим в данном разделе, приводят нас к понятию нормальных мод колебаний частично когерентного источника, которое позволяет рассматривать поля, излучаемые такими источниками, оперируя понятием когерентных мод.

Рассмотрим первичный флуктуирующий скалярный источник, занимающий некоторую конечную область а свободного пространства. Пусть распределение источника, которое представляет собой аналитический сигнал, связанный с действительным распределением источника Предположим, что флуктуации характеризуются статистическим ансамблем, который является стационарным, по крайней мере, в широком смысле. Обозначим через функцию взаимной корреляции для а именно

Мы предполагаем, по аналогии с (4.7.1), что абсолютно интегрируема по Следовательно, для распределения источника имеют место результаты, аналогичные выражениям полученным для оптического поля. В частности, взаимная спектральная плотность распределения источника

существует и является непрерывной функцией Далее мы предполагаем, что является также непрерывной функцией в области а. Тогда представляет собой неотрицательно определенное ядро Гильберта — Шмидта, и, следовательно, по аналогии с (4.7.9), ее можно представить в виде разложения Мерсера, а именно

т.е. в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда. Функции являются собственными функциями, а коэффициенты собственными значениями интегрального уравнения

Как и ранее, собственные функции с необходимостью являются действительными и неотрицательными

а собственные значения полагаются ортонормированными

В выражении (4.7.44) взаимная спектральная плотность источника представлена в виде линейной комбинации взаимных спектральных плотностей

которые разлагаются на множители по пространственным переменным Это значит, что соответствующая спектральная степень когерентности

является унимодулярной. Таким образом, взаимная спектральная плотность источника представлена в виде линейной комбинации взаимных спектральных плотностей элементарных источников, каждый из которых полностью когерентен в пространственно-частотной области. Можно считать, что эти элементарные источники или, точнее, произведения соответствуют нормальным модам колебаний данного источника. По аналогии с (4.7.20) можно показать, что взаимные спектральные плотности различных мод взаимно ортогональны.

Особый интерес в плане приложений такого представления по модам представляет аналог выражения (4.7.38), а именно формула

Мы видим, что взаимная спектральная плотность распределения источника представлена в виде корреляционной функции в пространственно-частотной области. В являются выборочными функциями статистического ансамбля, каждая из которых имеет вид

где случайные переменные, удовлетворяющие условиям

Среднее в (4.7.50) берется по ансамблю или, что фактически одно и то же, по ансамблю случайных коэффициентов Вывод формулы (4.7.50) может быть проведен по аналогии с выводом соответствующей формулы (4.7.38) для взаимной спектральной плотности оптического поля.

Рассмотрим поле излучаемое флуктуирующим источником. Пусть взаимная спектральная плотность этого поля. Согласно связана с взаимной спектральной плотностью источника уравнением

Как мы уже отмечали, в разложении представлена в виде линейной комбинации вкладов от полностью когерентных элементарных источников. Можно предположить, что каждый такой элементарный источник излучает поле которое является решением уравнения Гельмгольца

Полагая для простоты, что область вне источника а представляет собой неограниченное свободное пространство, получим решение (4.7.55) в виде

Если же область вне источника а ограничена или содержит материальные объекты, линейно взаимодействующие с полем, то в выражении (4.7.56) удаляющуюся сферическую волну следует заменить на соответствующую функцию Грина. Теперь построим ансамбль функций

где задаются выражением (4.7.56), а те же коэффициенты разложения, что и в (4.7.51). Из (4.7.57), (4.7.55) и (4.7.51) следует, что является удаляющимся решением волнового уравнения

Из (4.7.58) и (4.7.50) получим, что

откуда согласно (4.7.54) следует, что

С помощью этой формулы взаимная спектральная плотность поля, излучаемого первичным источником, представлена в виде корреляционной функции в пространственно-частотной области.

В заключение подставим (4.7.57) в (4.7.60). Тогда, воспользовавшись выражением (4.7.52), получим следующее разложение для

Каждый член этого ряда разлагается на множители по двум пространственным переменным Следовательно, соответствующие спектральные степени когерентности унимодулярны. Таким образом, выражение (4.7.61) представляет взаимную спектральную плотность поля, излучаемого первичным источником, в виде линейной комбинации взаимных спектральных плотностей элементарных полей, каждое из которых излучается нормальной модой источника, полностью когерентной в пространственно-частотной области. В отличие от нормальных мод источника, эти элементарные поля в общем случае не являются взаимно ортогональными, но, исходя из (4.7.52), их вклады во взаимную спектральную плотность поля являются некоррелированными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление