Главная > Оптика > Оптическая когерентность и квантовая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2.2. Излучение от некоторых модельных источников

Проиллюстрируем полученные нами общие результаты на примере ряда модельных источников, которые достаточно часто встречаются в природе или используются в лабораториях.

Пусть будет снова взаимной спектральной плотностью источника, который занимает конечную область и статистическое поведение которого характеризуется стационарным, по крайней мере в широком смысле, ансамблем. Тогда

представляет собой спектральную плотность распределения источника и

— его спектральная степень когерентности.

Мы будем предполагать, что зависит от только через разность т.е. задается в виде

для каждой эффективной частоты в спектре источника. Источники такого типа известны как (первичные) источники модели Шелла, потому что такие источники (на самом деле их аналог для двумерных вторичных источников), по всей видимости впервые были рассмотрены Шеллом (Schell, 1961, 1967). Из уравнений (5.2.29) и (5.2.28) следует, что взаимная спектральная плотность источника модели Шелла задается в виде

Рис. 5.2. Иллюстрация к понятию квазиоднородного источника. Модуль спектральной степени когерентности распределения источника изменяется намного быстрее при изменении чем его спектральная плотность при изменении Для цели иллюстрации, выбранный источник является одномерным

Мы рассмотрим частный класс источников модели Шелла, а именно такие источники, для которых спектральная плотность как функция от изменяется при изменении положения столь медленно, что она является приближенно постоянной на расстояниях в пределах источника, которые порядка корреляционной длины (эффективной ширины см. рис. 5.2). В таких случаях обычно говорят, что суть медленная функция и что быстрая функция Кроме того, мы также предполагаем, что линейные размеры источника велики по сравнению с длиной волны и с корреляционной длиной Источники модели Шелла этого рода известны как квазиоднородные источники и, как мы позже убедимся, они создают поля, которые относительно просты при математическом анализе и богаты многочисленными свойствами, используемыми для моделирования разных ситуаций, представляющих практический интерес. Когда достаточно мала, порядка или меньше чем длина волны можно сказать, что такой источник является «локально» пространственно некогерентным на частоте Когда порядка многих длин волн, то можно сказать, что источник является пространственно когерентным в локальном смысле. Такое разграничение иногда бывает полезным, поскольку, как мы увидим позже, поля, создаваемые квазиоднородными источниками, принадлежащие к этим двум категориям, имеют разную структуру. Конечно, квазиоднородные источники всегда пространственно некогерентны в «глобальном» смысле, потому что их линейные размеры велики по сравнению с корреляционной длиной

Так как предполагается, что для квазиоднородных источников спектральная плотность меняется медленно при изменении положения в пределах эффективной ширины в правой части (5.2.30) можно использовать приближение

С использованием этого приближения в (5.2.30), взаимную спектральную плотность квазиоднородного источника с хорошей степенью точности можно выразить в виде

Шестимерное преобразование Фурье взаимной спектральной плотности источника, которое входит в выражения (5.2.8) и (5.2.15) для взаимной интенсивности излучения и интенсивности излучения, сводится в этом случае к произведению двух трехмерных преобразований Фурье. Чтобы увидеть это, подставим (5.2.32) в (5.2.9) и перейдем от переменных интегрирования используя преобразование (5.2.176). Тогда мы сразу найдем, что

где трехмерные пространственные фурье-образы соответственно, а именно

Таким образом, мы видим, что когда взаимная спектральная плотность факторизуется в виде (5.2.32), что характерно для квазиоднородного источника, то его шестимерный пространственный фурье-образ также факторизуется в виде (5.2.33). Более того, поскольку для квазиоднородного источника медленная функция быстрая функция из соотношения взаимности, включающего эффективные ширины прямого и обратного фурье-образов [см. (4.3.76)], следует, что первый множитель в правой части (5.2.33) представляет собой быструю функцию К, а второй множитель суть медленная функция К. Эти свойства пригодятся нам в дальнейшем.

При подстановке (5.2.33) в (5.2.8) и (5.2.15) мы получим следующие выражения для взаимной интенсивности излучения и интенсивности излучения поля, излучаемого трехмерным первичным квазиоднородным источником:

где Далее, подставляя (5.2.36) и (5.2.37) в формулу (5.2.24), мы находим, что спектральная степень когерентности дальнего поля, создаваемого источником, определяется выражением

где

Как мы только что показали, быстрая функция К, тогда как медленная функция

К. Поэтому ясно, что в аргументах для которых множитель в (5.2.38) существенно отличен от нуля, в правой части уравнения можно заменить на Следовательно, в уравнении (5.2.38) мы можем положить

Используя это приближение в (5.2.38), получим следующее выражение для спектральной степени когерентности для дальнего поля, создаваемого трехмерным первичным квазиоднородным источником:

Формулы (5.2.37) и (5.2.41) являются доказательством следующих двух интересных соотношений взаимности, которые относятся к излучению, создаваемому источниками этого типа:

(а) угловое распределение интенсивности излучения пропорционально трехмерному пространственному фурье-образу спектральной степени когерентности источника [см. (5.2.37)].

(б) спектральная степень когерентности для дальнего поля, с точностью до простого геометрического фазового множителя, равна нормированному трехмерному пространственному фурье-образу спектральной плотности источника [см. (5.2.41)].

Таким образом, мы видим, что влияния пространственных распределений спектральной плотности источника и его спектральной степени когерентности на дальнее поле существенно отличаются. Результат, который следует из вышеприведенной теоремы (б) [см. (5.2.41)], можно рассматривать как аналог теоремы Ван Циттерта — Цернике [см. (4.4.40)] в дальней зоне для трехмерных первичных квазиоднородных источников.

Мы проиллюстрируем эти результаты на следующем простом примере. Рассмотрим трехмерный первичный изотропный квазиоднородный источник, для которого пространственные распределения спектральной плотности и спектральной степени когерентности являются гауссовскими:

где положительные величины, Предположение о том, что источник является квазиоднородным на частоте означает, что

Легко найти, что трехмерные пространственные фурье-образы выражений (5.2.42) (если опустить частотную зависимость имеют вид

Подставляя (5.2.44) в (5.2.37), получим следующее выражение для интенсивности излучения источника

Теперь видно, что интенсивность излучения не зависит от направления (задаваемого единичным вектором так как, по предположению, источник является изотропным; также видно, что интенсивность излучения пропорциональна эффективному объему источника. Заметим, что когда эффективная корреляционная длина источника меньше длины волны связанной с частотой т.е. когда источник является некогерентным в локальном смысле, формула (5.2.45) для интенсивности излучения сводится к

Таким образом, интенсивность излучения пропорциональна не только эффективному объему источника, но и эффективному объему когерентности,

Зависимость интенсивности излучения от эффективной корреляционной длины источника (5.2.45) показана на рис. 5.3.

Теперь рассмотрим когерентные свойства дальнего поля, создаваемого этим источником. Подставляя из (5.2.44) в (5.2.41), получим спектральную степень когерентности:

Поскольку единичные векторы, имеем (см. рис. 5.4)

Рис. 5.3. Нормированная интенсивность излучения, рассчитанная по формуле где как функция нормированной эффективной корреляционной длины ксгд эффективной нормированной корреляции, созданного трехмерным гауссовским квазиоднородным источником, описываемым формулой (5.2.42). Заметим, что нормировочная постоянная пропорциональна эффективному объему источника (Carter and Wolf, 1981b)

Рис. 5.4. Иллюстрация к формуле (5.2.48)

Рис. 5.5. Поведение модуля спектральной степени когерентности для дальнего поля, создаваемого трехмерным гауссовским квазиоднородным источником, описываемым формулами (5.2.42) и (5.2.43), как функции угла в между . (Carter and Wolf, 1981b)

где — угол между При подстановке (5.2.48) в (5.2.47) получим следующее выражение для

Из этой формулы следует, что угловое расстояние в, для которого пространственная когерентность на заданной частоте в дальней зоне является существенной, должно удовлетворять по порядку величины соотношению

Рассмотрим два предельных случая. Если эффективный линейный размер источника много меньше длины волны [подчиняющейся (весьма идеализированному) предположению (5.2.43)], то и неравенство (5.2.50) справедливо для всевозможных углов между единичными векторами т.е. для в Тогда дальнее поле будет пространственно полностью когерентным на частоте . С другой стороны, если эффективный линейный размер источника много больше длины волны, то и

значение удовлетворяющее неравенству (5.2.50), можно аппроксимировать Следовательно, при этих условиях, пространственная когерентность на заданной частоте в дальней зоне источника распространяется на углы, для которых

Поведение абсолютного значения спектральной степени когерентности дальнего поля как функции угла в (5.2.49), показана на рис. 5.5 для некоторых значений нормированного эффективного линейного размера источника

В этом разделе мы продемонстрировали общие результаты, полученные в разд. 5.2.1 для квазиоднородных источников. Излучение от других типов источников, относящихся к полностью когерентным и полностью некогерентным источникам, так же, как и к гауссовским источникам модели Шелла, обсуждаются в двух работах Картера и Вольфа (Carter and Wolf, 1981а, b).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление