Главная > Физика > Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.7. Аналитическое продолжение в плоскость углового момента

Представление Грибова-Фруассара (2.6.2) может быть использовано, чтобы определить амплитуды при всех значениях I, а не только при целых или четных значениях, как предполагалось до сих пор. Если говорить более точно, то представление Грибова-Фруассара позволяет определить амплитуды для всех тех I, для которых где и где для как следует из (2.4.9). Основное преимущество использования формулы (2.6.2) по сравнению с (2.2.18) при рассмотрении нецелых I заключается в том, что функция имеет лучшее поведение при чем функция и

Единственными сингулярностями функции являются полюса при [см. поэтому формула (2.6.2) определяет функцию переменной I, которая является голоморфной (т. е. свободной от сингулярностей) в области

Однако совершенно не очевидно, что это расширенное определение парциальных амплитуд обладает большими достоинствами, чем предыдущее, так как только целые положительные значения I имеют физический смысл и поэтому совершенно ясно, что существует

бесчисленное множество способов интерполяции по целым числам. Но так как амплитуда определенная с помощью (2.6.2), исчезает, когда [см. (2.5.5)], то теорема Карлсона (доказанная в книге 381], говорит о том, что продолжение, даваемое формулой (2.6.2), является единственным продолжением, обладающим этим свойством.

Более точно теорема Карлсона формулируется следующим образом: если является регулярной функцией и имеет поведение О причем при кроме того, для бесконечной последовательности целых чисел то тождественно. Таким образом, если мы напишем, что

где функция получена с помощью представления Грибова-Фруассара и где для целых значений I, то теорема гласит, что либо когда либо функция всюду исчезает, т. е. тождественно равна нулю. Возможно, простейшим примером является следующий:

Вспоминая, что совершенно очевидно, что когда из-за наличия дополнительного члена.

Следовательно, выражение (2.6.2) определяет однозначным образом функцию как голоморфную, имеющую конечный предел при для всех Однако продолжение в область затруднено из-за расходимости при

Для того чтобы перейти к дальнейшему рассмотрению, нам необходимо сделать дополнительное и очень существенное предположение о том, что амплитуда рассеяния аналитическая функция I во всей комплексной плоскости углового момента и содержит только изолированные особенности. Таким образом, в дальнейшем мы будем рассматривать только изолированные особенности, которые естественным образом будут приводить к расходимости, но мы сможем тем не менее сделать аналитическое продолжение в оставшуюся часть комплексной плоскости.

Для примера предположим, что скачок имеет степенное поведение в асимптотике

причем Так как из следует, что а из (1.7.9) — что то при больших s (скажем, s больше некоторого формула (2.6.2) дает

Следовательно, амплитуда имеет полюс при Это есть, по нашей гипотезе, наиболее правая особенность в комплексной плоскости I и, таким образом, это именно та сингулярность, которая мешает нам сделать продолжение левее Однако раз уж этот полюс является изолированной особой точкой, то мы можем сделать продолжение вокруг него влево, но до тех пор, пока не наткнемся на другую сингулярность, соответствующую следующему члену асимптотического разложения скачка

В частности, в разложении могут содержаться логарифмические члены типа

которые дадут

Таким образом, амплитуда будет иметь точку ветвления при или кратный полюс в случае, если является положительным целым числом. Физический смысл этих полюсов и точек ветвления мы будем обсуждать ниже.

Предположение о том, что амплитуда имеет только изолированные особые точки и поэтому может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость углового момента, иногда называют постулатом о «максимальной аналитичности второго рода», для того чтобы отличать его от постулата V разд. 1.4, касающегося аналитичности по переменным s и Постулат о максимальной аналитичности второго рода является основным предположением, на котором основано применение теории Редже к физике частиц, что, к сожалению, ни в коей мере нельзя считать доказанным, хотя, как будет показано в следующей главе, это предположение является справедливым в различных реалистических моделях сильных взаимодействий и, что много более важно, похоже, что находится в согласии с экспериментальными данными.

Таким образом, если все это справедливо, то ряд (2.5.6) в разложении по парциальным волнам можно переписать в виде контурного интеграла в комплексной плоскости I (этот метод использовал Зоммерфельд [364], следуя технике, предложенной Ватсоном [398]):

Контур показан на рис. 2.7. Он охватывает все целые положительные числа и нуль, но избегает каких-либо точек, соответствующих сингулярностям Вычеты подынтегрального выражения в

полюсах, расположенных в целых точках в которых имеют следующий вид:

[для того чтобы это получить, нужно использовать

Таким образом, с помощью теоремы Коши мы получаем из (2.7.5)

Следовательно, выражение (2.7.5) эквивалентно (2.7.7) при условии, что амплитуда имеет требуемые аналитические свойства по

Рис. 2.7. Контур интегрирования в комплексной плоскости I, охватывающий все положительные целые числа. Контур можно развернуть вдоль линии с полуокружностью на бесконечности. Этот контур называется

Так как мы уже нашли, что амплитуда не имеет сингулярностей при то мы можем заменить контур на контур как показано на рис. 2.7, и будем уверены, что при этом мы не захватим ни одной сингулярности подынтегральной функции. Это справедливо при условии, что вертикальная линия соответствует Вследствие условий (2.5.5) и интеграл по полукругу (при условии, что его радиус стремится к бесконечности) будет равен нулю. Эти условия и также показывают, что область сходимости (2.7.5) по переменной много больше, чем малый эллипс Лемана (2.4.11), внутри которого справедливо разложение (2.7.7). Эта область не зависит от фактически, вследствие (2.5.11) должна включать в себя всю комплексную плоскость Отметим, что сингулярности по амплитуды которые мешают сходимости выражения (2.7.7), содержатся в функции при [для нецелых I это можно увидеть с помощью

Если мы будем смещать налево, то нам будут встречаться сингулярности плоскости I, подобные (2.7.2) и (2.7.4), которые ответственны за расходимость (2.6.2). Давайте предположим для простоты, что мы встретили только один простой полюс при которому отвечает и только одну точку ветвления при когда мы прошли всю область как показано на рис. 2.8. Тогда мы получаем следующее:

где последний член отвечает интегрированию вокруг части разреза, отвечающего точке ветвления и показанного на рис. скачок на разрезе]. Формула (2.7.8) известна в литературе как представление Зоммерфельда-Ватсона.

Рис. 2.8. Контур интегрирования развернутый вдоль Этот контур включает в себя обход полюса при и охватывает раацез, отвечающий точке ветвления при

Очевидно, что первый член, который называется «фоновым интегралом», обращается в нуль, когда как Это легко получить, если вспомнить асимптотическое поведение функции при [см. ]. Аналогично сразу получается, что полюсный член также как и в (2.7.1), тогда как асимптотическое поведение вклада от разреза зависит от скачка на этом разрезе в области Если скачок ведет себя как то поведение в асимптотике будет [см. (2.7.4)].

В случае потенциального рассеяния (для потенциалов с «хорошим поведением») в амплитуде имеются только полюса и отсутствуют разрезы. Это было показано Редже в статьях, посвященных этому вопросу (см. гл. 3). В физике частиц мы предполагаем, что имеются и разрезы, однако подробное обсуждение этих вопросов мы отложим до гл. 8, а все предыдущие главы посвятим детальному рассмотрению полюсов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление