Главная > Физика > Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

Представлением функций орбитального углового момента [355, 158, 345] являются сферические гармоники

где - присоединенные функции Лежандра. Их свойства обсуждаются с большими подробностями в книге Бейтмена и Эрдейи «Высшие трансцендентные функции», на которую далее мы будем часто ссылаться с указанием номера страницы [161].

Задачи рассеяния бесспиновых частиц симметричны относительно направления падающего пучка, которое обычно выбирается в качестве оси Вследствие этого устраняется зависимость от угла и поэтому достаточно рассмотреть в дальнейшем только

Эти функции Лежандра являются собственными функциями оператора квадрата углового момента т. е.

и, например в координатном представлении,

Это уравнение называется уравнением Лежандра [161, с. 125]. В случае, когда I — целое число, функции Лежандра являются полиномами по регулярными на всей конечной плоскости Выпишем несколько первых полиномов:

Уравнение имеет решения и в случае, когда I не является целым числом. Это решение (161, с. 149] может быть представлено с помощью гипергеометрической функции

и сингулярно в точках Эти решения называются функциями Лежандра первого рода;

Кроме этих решений уравнения имеются другие, которые сингулярны в точках называемые функциями Лежандра второго рода :

в случае целых значений I несколько первых функций имеет вид [161 с. 152- —153]:

Эти функции удовлетворяют inter alia следующим условиям, которые нам понадобятся в этой книге;

Соотношение отражения [161, с. 141] дает

Поскольку уравнение инвариантно при замене , то [161, с. 140]

Кроме того, для действительных I [161, с. 145]:

В случае целых I два типа решений связаны друг с другом соотношением Неймана ].

которое является как бы «дисперсионным соотношением» для функции Это с очевидностью следует из того факта [161, с. 145], что

Для случая нецелых I

Соотношение отражения для функций второго типа формулируется следующим образом [161, с. 141]:

Другими полезными результатами являются следующие [161, с. 140]:

и

Для полиномов Лежандра имеется соотношение ортогональности [161, С; 171]

и некоторые другие интегральные соотношения [161, с. 171]:

Асимптотическое поведение при и фиксированном I можно получить, если переписать как

И так как когда то мы получаем [161, с. 165]

Аналогичным образом получаем из

Асимптотическое поведение при и фиксированном является намного более сложным [161, с. 142, 163; [318]):

где

итак,

Кроме того,

где

Из выражения видно, что является целой функцией тогда как из следует, что функция мероморфная, так как она имеет полюса при отрицательных целых значениях I вследствие того, что в числителе стоит -функция и из следует

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление