Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Анализ уравнений

Для дальнейшего особое значение имеет выяснение знака функции

По условию функция должна быть непрерывной на сегменте Поэтому согласно (11) и (13) функции и непрерывны на интервале [0, 1). Кроме того, знакопостоянна. Следовательно, функция монотонна. Поскольку то очевидно, что

Преобразуем соотношение (18), используя формулу преобразования многократного интеграла в однократный

Здесь для использовано его выражение (10). Произведя интегрирование по частям, после некоторых преобразований получим

Учитывая, что два последних члена в положительны, подставим в (20) оценку (19). Тогда получим

В последнем равенстве убеждаемся путем прямого вычисления интегралов. Итак, установлен основной факт:

В дальнейшем нам неоднократно придется ссылаться на теорему Чаплыгина [141] о дифференциальных неравенствах, которая утверждает следующее. Пусть даны две непрерывные функции и удовлетворяющие условиям и уравнениям Тогда из неравенства }2(х, у) следует, что а из неравенства что всюду, где непрерывны.

Рассмотрим уравнение и сравним его с уравнением (16). Пользуясь неравенством и условием на основании теоремы Чаплыгина заключаем, что где решение вспомогательного уравнения, удовлетворяющее условию Такое решение есть тождественный нуль, поэтому а следовательно, и С учетом этого неравенства и того факта, что из уравнения (4) заключаем, что Значит, монотонно возрастает. Эти результаты позволяют установить

неравенство

В самом деле, (21) равносильно неравенству Функция имеет непрерывную производную и обращается в нуль в точках следовательно, по теореме Ролля она должна иметь на промежутке [0, 1], по крайней мере, один экстремум. Условие устанавливает, что этот экстремум может быть только один, поскольку между двумя экстремумами должны быть точки перегиба, что исключается условием Далее, то же условие показывает, что может иметь лишь минимум. Итак, на концах интервала (0,1) обращается в нуль, а внутри его имеет единственный минимум, следовательно, что и доказывает (21).

Неравенство (21) позволяет уточнить неравенство Если (21) подставить в (20), то нетрудно получить

Функция неудобна для вычислений, поэтому введем

Построив графики функций (рис. 6), нетрудно убедиться, что на интервале Последнее неравенство можно доказать и аналитически, но это громоздко. Итак, имеем

Рис. 6

Рассмотрим уравнение

и найдем его решение, удовлетворяющее условию Подставив (22) в (23), получим Введем функцию согласно соотношению тогда получим Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию имеет вид

Отсюда находим

Сопоставляя уравнения (23) и (16), в силу неравенства на основании теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах заключаем, что

Однако неравенство (24) не может быть выполнено при произвольных значениях параметра k. В самом деле, представляет собой мероморфную функцию, имеющую полюса в точках

где корни уравнения Так как по условию, непрерывная функция на интервале [0, 1], то для выполнения неравенства (24) необходимо, во всяком случае, потребовать, чтобы первый полюс функции лежал вне интервала [0, 1], т. е. чтобы было или

Если же условие (26) не выполняется, то не может быть непрерывной функцией на всем интервале [0, 1]. Таким образом, получен результат: при числах Рейнольдса, превышающих 8, поставленная задача не имеет ограниченного решения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление