Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Теорема существования

Докажем, что если то: а) при условии система уравнений (16) — (17) однозначно разрешима; б) при функция имеет предел, равный нулю; в) выполняются все исходные граничные условия для функций Будем решать систему (16), (17) методом последовательных

приближении по следующей схеме:

В качестве нулевого приближения для функции примем Тогда из (27) следует, что Если в (28) подставить то оно совпадет с выражением для функции поэтому

Пользуясь этим выражением, вычислим по (29) функцию

Устремив х к 1, найдем Таким образом, все функции первого приближения непрерывны на сегменте [0, 1].

Допустим, что тем же свойством обладают и функции Докажем, что при этом также будут непрерывными на замкнутом интервале [0, 1]. Непрерывность и ее производной непосредственно следует из (27). При этом в силу монотонности где максимальное значение положительной функции, достигаемое при Из (28) имеем Вычислим

Найдем Для этого заметим, что соотношение (28) может быть представлено в форме, аналогичной (18), где заменено на поэтому

Подставив сюда полученные оценки для приходим к неравенству

Проинтегрируем это неравенство в пределах от х до учетом

Интегрируя еще раз в тех же пределах, получим

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки которая для этой функции не является особой. Имеем следовательно,

Очевидно, что все нечетные производные будут отрицательными, а все нечетные положительными. Поэтому

Здесь все иевыписанные члены отрицательны. Ясно, что следовательно,

Если к правой части прибавить положительное количество и результат умножить на то неравенство не нарушится, поэтому

В силу того, что из (28) следует, что (доказательство совпадает с выводом (21)). Следовательно, функция ограничена всюду на сегменте [0, 1]. С учетом непрерывности это означает (см. (28)), что непрерывна при всех

Подставив (30) в (29), получим

Поскольку подынтегральная функция суммируется на сегменте

то из данной оценки, а также из очевидного неравенства следует, что всюду на ограничена и вместе с тем непрерывна.

Итак, методом полной индукции доказана непрерывность всех последовательных приближений. Докажем их сходимость при условии В силу того, что из (29) следует, что

Покажем, что если то Согласно (12) и (27) функции и удовлетворяют уравнениям и условиям Имеем

Умножая это неравенство на интегрирующий множитель, получаем

Требуется доказать, что Гц. Допустим противное: Тогда эта разность в некоторой точке имеет положительный максимум. Интегрируя неравенство (32) от до находим при Интегрируя еще раз от до 1, получаем что противоречит допущению. Продолжая анализ, рассмотрим разность

Применяя к этому соотношению неравенство получим

Наконец, рассмотрим разность

Отправляясь от (31), последовательно находим следовательно,

Допустим, что справедливо неравенство тогда верно соотношение (33) и, следовательно, разность положительна, т. е. Таким образом, методом полной индукции

доказано, что все приближения образуют последовательности

Соотношение (34) показывает, что иевозрастающая последовательность ограничена снизу. Поэтому существует предел

Поскольку из (28) заключаем, что

Ограничение (38) означает, что неубывающая последовательность также имеет предел

Подставив (38) в (29), получим

Рассмотрим уравнение

Будем решать его методом последовательных приближений,

Очевидно, что при так что Вычтем из неравенства (40) равенство (42):

Имеем поэтому так что Далее, Если допустить, что то, учитывая неотрицательность с помощью (43) получаем, что

Рис. 7.

Согласно теореме Пикара [125] последовательность функций на некотором интервале I сходится к функции удовлетворяющей уравнению (41). Поэтому на том же интервале сходится и последовательность функций как это следует из неравенств для того чтобы определить величину интервала решим уравнение (41). Введем, как и выше, вспомогательную функцию согласно соотношению тогда (41) примет вид Условие дает

Решение полученного уравнения имеет вид где Отсюда нетрудно пайти, что

Заметив, что при изменении х в промежутке найдем корни знаменателя (44), т. е. решим уравнение

Проще всего уравнение (45) решать графически. На рис. 7 представлены графики функций Для определения первого корня уравнения (45) поступаем следующим образом. Берем точку и находим значение Затем проводим горизонталь, соответствующую этому значению, до пересечения с кривой Абсцисса точки пересечения и даст искомый корень

Из рассмотрения рис. 7 нетрудно убедиться в том, что если где первый корень уравнения то корень лежит вне интервала Следовательно, при

уравнение (45) не имеет корней в промежутке Это означает, что при условии (46) функция не имеет никаких особенностей на полуоткрытом интервале [0, 1). Исследуем поведение этой функции в окрестности точки Используя для функций представления

при малых найдем, что

Таким образом, при условии (46) функция непрерывна на интервале а в точке она имеет логарифмическую особенность.

Этот результат позволяет утверждать, что интервал сходимости последовательных приближений может быть расширен вплоть до точки где сколь угодно малое положительное число. В силу того, что

можно утверждать, что существует предел

Рассмотрим вопрос о поведении функции в окрестности точки Из (47) находим, что отношение должно быть ограниченным всюду на сегменте [0, 1], т. е. существует такое положительное число А, что Учитывая (48), можно написать

причем А не зависит от номера Теперь можно оцепить функцию подставив (49) и (30) в (29) и перейдя к пределу, устремив Прежде, однако, необходимо изучить последовательность чисел входящих в (30).

Как указывалось, поэтому из (27) получаем

Если в знаменатель этого выражения вместо подставить ее нижнюю грань, то правая часть не уменьшится, поэтому

Подставив в (51) оценку (49) найдем

Итак, последовательность чисел ограничена. Докажем, что она сходится к пределу. Для этого установим неравенство Поскольку на интервале [0, 1] разность а на концах обращается в нуль, то в точке она имеет отрицательный минимум, где Интегрируя (32) от х до 1, получаем что и нужно.

Таким образом, числа образуют монотонно возрастающую ограниченную последовательность, следовательно, существует Подставив в (29) оценки (30) и (49), получим

Переходя к пределу при найдем

Согласно признаку Коши интеграл сходится при всех поэтому остается ограниченной и при Итак, доказано, что процесс итераций сходится, если Наличие оценки (52) позволяет утверждать, что установленная сходимость равномерная. Это означает, что суть непрерывные функции на всем сегменте [0, 1].

Если в системе (27) — (29) перейти к пределу при (предельный переход под знаком интеграла оправдывается равномерной сходимостью), то для предельных функций получаются соотношения, совпадающие с системой (16) — (18), так что предельные функции действительно дают решение этой системы. Кроме того, в силу условий при всех очевидно, что

Предыдущими рассуждениями показано, что критическое число Рейнольдса лежит в промежутке Для его уточнения заметим, что кризис связан с проникновением полюса функции в область Однако в момент кризиса согласно (17) имеем при С учетом этого в соответствии с (20) в предельной ситуации имеем Теперь уравнение (16) сводится к следующему:

К сожалению, это уравнение, в отличие от (41), не поддается аналитическому решению, но численный анализ, предпринятый Серрином [236], показал, что решение задачи продолжимо до если Под влияиием работы [177], где в качестве критического указано значение 5,53, мы провели проверочный численный анализ уравнения (53). Оно оказалось непрерывно разрешимым на интервале [0, 1], если

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление