Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Единственность

Перейдем к доказательству единственности найденного решения. Для этого вернемся к исходной системе дифференциальных уравнений (6), (4) и поставим для нее задачу Коши

В этом случае система уравнений (6), (4) также приводится к виду (12), (16), причем функция определяется выражением (18), которое может быть записано в форме

При

Для произвольного значения условие естественно, не выполняется, даже если решение продолжимо на весь интервал [0, 1]. Рассмотрим систему уравнений (12), (16), (56) с условиями (57) и докажем, что при фиксированном значении к равенство выполняется не более чем для одного значения

Решение задачи Коши (6), (4), (55) единственно. Следовательно, наше утверждение будет справедливо, если функция монотонно возрастает с ростом Пусть решение, соответствующее значению Тогда как это следует из (13) и (14). Положим причем Тогда

Из неравенства (58) следует существование значения такого, что для Умножение (59) на интегрирующий множитель и последующее интегрирование с учетом условия дает

Отсюда следует, что на отрезке Тогда из равенства (60) и неравенства следует, что на этом же интервале

Последнее неравенство позволяет последовательными шагами расширить интервал, где на всю область существования решения. Заметим, что если существует С, при котором то оно выражается формулой (10), а функция имеет вид (20).

Доказанная монотонность зависимости функции от позволяет утверждать, что если решение системы (12), (16), (20) с граничными условиями (57) при фиксированных значениях к и а существует, то оно единственно. Действительно, предположим, что существуют два решения причем В силу единственности решения задачи Коши (6), (4), (55) им соответствуют различные значения Пусть тогда в силу монотонности что противоречит предположению.

Доказательство полной теоремы единственности будет завершено, если мы установим монотонное возрастание величины с ростом параметра а, так как в этом случае значение может достигаться только при единственном значении а. Речь все время идет, разумеется, о таком множестве значений параметра а, при которых решение задачи Коши (6), (4), (55) продолжимо вплоть до Если временно считать параметр данным и выбрать в соответствии с (10), то для системы (12), (16), (20) получится краевая задача со следующими условиями: При этом параметр определится соотношением

Данная краевая задача разрешима при всех если выполнено условие (54). В самом деле, при она разрешима при условии (54). Пусть тогда задачу можно решить методом итераций по схеме приняв за начальное приближение функцию соответствующую значению В таком случае согласно (12) функция возрастет пропорционально уменьшится в соответствии с (20). Это приведет к уменьшению функции что по доказанному выше вызовет увеличение Следовательно, функции образуют монотонно убывающую, а значит, и сходящуюся последовательность. Если же то последовательность будет возрастать, оставаясь, однако, ограниченной сверху, если

Итак, установлено, что решение существует при всех и согласно (61) величина а пробегает все значения при изменении от нуля до бесконечности. Покажем далее, что зависимость является монотонной и непрерывной. Что касается монотонности, то она фактически доказана только что приведенными рассуждениями. Поскольку при увеличении функция

убывает, то согласно (61) величина а возрастает, так что функция является монотонно возрастающей. Для доказательства непрерывности рассмотрим два решения задачи, соответствующие значениям причем решение получим методом итераций, отправляясь от функции Для доказательства непрерывности достаточно показать, что для любого найдется такое, что

Так как только Поскольку последовательные приближения равномерно сходятся к на любом замкнутом отрезке, содержащемся в [0, 1], а при имеют не более чем логарифмическую особенность, то существует число такое, что

Так как число конечно, то найдется такое, что только Это видно из того, что при близких значениях последовательные приближения будут изменяться мало. В таком случае из двух последних неравенств следует (62).

Таким образом, функция является непрерывной и монотонно возрастающей. В силу теоремы об обратных функциях такими же свойствами локально обладает и зависимость Поскольку каждому значению а отвечает одно значение двум разным а в силу монотонности соответствуют различные и наличие нескольких ветвей у функции исключено непрерывной продолжимостью этой функции от до то зависимость является однозначной, непрерывной и монотонной в целом. Следовательно, значение достигается при единственном значении а, что и завершает доказательство единственности решения исходной задачи.

Итак, доказано, что при числах Рейнольдса, меньших, чем 5,53, поставленная задача имеет решение, единственное и непрерывное всюду, кроме начала координат; при числах Рейнольдса, превышающих указанное значение, задача решения не имеет.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление