Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.6. Обсуждение

Как уже упоминалось, при стремлении числа Рейнольдса к критическому значению функция убывает всюду, за исключением ближайшей окрестности точки Иными словами, вращательное движение жидкости прекращается почти во всем полупространстве, исключая лишь очень узкий копус, содержащий ось вихря. В остальной области остаются лишь вторичные течения, наличие которых обусловлено перепадом давления на плоскости. Подобная картина течения в корне противоречит представлениям теории пограничного слоя.

По-видимому, она может быть объяснена следующим образом. При малых числах Рейнольдса циркуляция вследствие вязкой диффузии от вихревой нити занимает всю область течения. При этом генерируются вторичные течения, стремящиеся осуществить конвекцию циркуляции обратно к вихревой нити. Вторичные течения черпают свою энергию из энергии вращательного движения жидкости. С ростом числа Рейнольдса «перекачка» энергии прогрессивно нарастает. Поступление энергии из бесконечности и от вихревой нити происходит медленнее, чем ее трансформация в энергию вторичных течений. Эти соображения в известной мере подтверждаются результатами решения задачи при малых В конце концов возникает ситуация, когда энергия вращения вовсе иссякает. При происходит коллапс вращения, в то время как во внешней части остаются вторичные течения, поддерживаемые неисчезающим градиентом давления. Как видим, в данной проблеме условия прилипания на плоскости оказывают более сильное влияние на течение жидкости, чем условия движения на

бесконечности, так что пограничный слой, в котором локализовано все влияние вязкости, не возникает.

Поскольку из физических соображений величина циркуляции вихря может быть задана произвольно, то естественно возникает вопрос, что произойдет с течением, если превысит После выхода работы [32] возможные пути преодоления парадокса неоднократно обсуждались в литературе [14, 15, 31, 51, 65, 68, 74, 84, 94, 102, 107, 123, 142, 143, 157, 161-163, 177, 181, 188, 213, 222, 223, 225, 236, 255, 258]. В работах [68, 142, 177] предпринята численная проверка теоретических результатов. Эта проверка вполне подтвердила выводы теории. Так, в [68] численное решение удалось получить лишь до чисел Рейнольдса, не превышающих 4,75. В [142] предельное значение поднято до 5,5 и сделано предположение о том, что критическое число Рейнольдса лежит между 5,5 и 5,6. В работе [177] численно найдено, что при производная становится очень большой. Семейство кривых показанное на рис. 10 [177], подтверждает вывод о том, что при вращение прекращается всюду, кроме оси вихря.

Значительное число работ посвящено попыткам преодоления парадокса. В [15] это сделано за счет замены уравнений Навье — Стокса другими уравнениями. Вопросы потери существования решений в электровихревых течениях обсуждаются в монографиях [14, 145]. В обширной работе Серрина [236] разрешимость при всех числах Рейнольдса достигается за счет отказа от условия ограниченности осевой скорости на оси вихря. При этом, однако, в задаче появляется свободный параметр который нельзя определить по данным задачи. Более того, при наличии на оси у продольной скорости логарифмической особенности движение не затухает даже при отсутствии циркуляции. Следовательно, включен в действие некоторый неявный дополнительный источник движения, т. е. по существу рассмотрена другая задача, требующая своей физической интерпретации. За счет выбора параметра можно управлять возникновением кризиса. Значение отвечает рассмотренному здесь случаю ограниченной скорости.

Рис. 10.

Рис. 11.

На рис. 11 [236] к Область существования подразделяется на три подобласти. В зоне А течение имеет опускной характер. В зоне В происходит отрыв течения вблизи стенки и возникает двухъячеистая структура. Жидкость подтекает к началу координат вдоль оси и стенки, а затем растекается вблизи некоторой конической поверхности. С приближением к линии 1 угол раствора этого конуса стремится к нулю и в зоне С течение чисто подъемное. Как будет показано в гл. 2, граница потери существования решения имеет более сложный вид, чем это принято в [236]. В заштрихованной области каждому набору отвечают два решения. Штриховая кривая, указанная Серрином, отвечает слиянию этих решений. Прямая со штриховкой соответствует потере существования из-за появления сингулярности. При она ограничивает область существования снизу, а при сверху.

Приведенные результаты объясняют трудности, с которыми столкнулся Серрин [236], пытаясь доказать теорему единственности: при единственности просто нет. В то же время для случая эта теорема доказана в разд. 4.4, что позволяет предположить наличие единственности и при всех Интересные результаты получены в работе [31]. Здесь рассмотрено автомодельное решение уравнений Навье — Стокса, описывающее течение, вызванное линией источников или стоков в присутствии плоскости, перпендикулярной этой линии. Численным анализом установлено, что задача о стоках однозначно разрешима при всех числах Рейнольдса. В случае источников решение существует лишь при малых числах Рейнольдса что самое интересное, в окрестности критического числа Рейнольдса найдено два

Рис. 10. Рис. 11.

решения, различающихся топологической структурой линий тока, как это видно из рис. 12 [31]. Подробное обсуждение этой задачи будет дано в гл. 2.

Как видим, задача о взаимодехгствии вихря с плоскостью демонстрирует необычные парадоксальные свойства, которые, правда, могут существенно измениться за счет модификаций постановки. Однако эти модификации не снимают главного вопроса о том, что же происходит с исходным течением от вихревой нити в закритической ситуации? Этот вопрос, длительное время интриговавший исследователей, решается в гл. 2.

Отметим, что если заранее предположить существование решения при больших и использовать теорию пограничного слоя, как это сделано Тейлором, то в такой постановке задача разрешима и демонстрирует вполне обычные свойства пограничного слоя [37]. Данная коллизия призывает к осторожности в части использования приближенных методов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление