Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 1. О ПАРАДОКСАХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Согласно Большой Советской Энциклопедии парадоксом называется неожиданное суждение, резко противоречащее общепринятому мнению. Этим определением понятие «парадокс» относится к области логики. Логические парадоксы в виде разного рода «апорий» и «антиномий» известны с античных времен. Однако в современной «безумной» науке часто парадоксальными представляются не только умозаключения, но и сами физические явления. Такие неожиданные, противоречащие ортодоксальной интуиции физические ситуации, называют эффектами. Примеры парадоксальной физики общеизвестны. Достаточно упомянуть квантовую механику, мир элементарных частиц или современную космогонию, где на наших глазах так называемый «здравый смысл» терпит неизменное фиаско и торжествуют «парадоксальные» истины. Парадоксы — апофеоз нетривиальности нашего мира. Это понимал еще Пушкин, написав:

«О, сколько нам открытий чудных Готовят просвящепья дух, И опыт, сын ошибок трудных, И гений, парадоксов друг, И случай, бог изобретатель...»

Однако со временем парадоксы перестают казаться таковыми. Они входят составной частью в основы знания и деформируют сам способ мышления. Кого ныне удивишь первым законом Ньютона? А во времена Галилея закон инерции казался парадоксальным, так как повседневный опыт в совокупности с авторитетом Аристотеля, казалось бы, говорил о том, что движущееся тело, предоставленное самому себе, обязательно тормозится. Специальная теория относительности, казавшаяся первоначально большинству физиков не более чем логическим вывертом, стала повседневным рабочим инструментом для техники ускорителей, выработала новый релятивистский стиль мышления. Ныне человек, выступающий против теории относительности (а такие хоть и редко все же находятся!) кажется замшелым монстром.

Нас, однако, интересует гидродинамика — наука, в которой очень много парадоксов, имеющих для нее первостепенное значение. Первым, кто обратил внимание на роль парадоксов и дал их классификацию, был Биркгоф. Свою книгу «Гидродинамика» [12]

он начинает главой «Гидродинамические парадоксы», считая, что искусство применения гидродинамических теорий можно постигнуть, лишь изучив парадоксы. Однако под парадоксом Биркгоф понимает такой вывод из теории, который расходится с физическими наблюдениями, создавая кажущееся противоречие. Подобное понимание существенно сужает предмет, но все равно охватывает огромное число гидродинамических явлений.

Исторически первым, произведшим на современников ошеломляющее впечатление, был парадокс Эйлера — Даламбера, согласно которому при потенциальном обтекании тело не испытывает силы сопротивления. Значительно позже выяснилось, что данный парадокс связан с идеализацией схемы течения, которое в действительности, во-первых, не обязано быть потенциальным, во-вторых, стационарным, в-третьих характеризуется вязкостью, хотя и малой, по способной играть кардинальную роль. В сущности, данный парадокс сродни парадоксу Галилея: в идеальной жидкости, как и в «эфире», сила нужна для создания ускорения, а не скорости. Отметим, кстати, что попытки создания теории «эфира» на основе схемы идеальной жидкости наталкиваются на ту трудность, что в отличие от второго закона Ньютона в гидродинамике «масса» носит тензорный характер, так как она зависит от ориентации тела относительно направления движения.

Таким образом, парадокс Эйлера — Даламбера связан с переупрощением модели, и таких парадоксов много (см. [12]). Со времен Л. Прандтля, создавшего теорию пограничного слоя, всеобщее распространение получило мнение, что учет вязкости снимает все парадоксы. Как пишет О. А. Ладыженская [84], «математическая модель вязкох! жидкости с ее основными уравнениями Навье — Стокса, как мальчик для битья, должна была отвечать за все несуразности в теории идеальной жидкости (выдать подъемную силу, лобовое сопротивление, турбулентный след и многое другое)». Но, по мнению Ольги Александровны, «мальчик» не справился с задачей, так как в теории вязкой жидкости появились свои парадоксы. В этой связи представляется уместным кратко обсудить вопрос о том, насколько надежными и безупречными представляются сами уравнения Навье — Стокса, которые для простоты рассмотрим в случае несжимаемой жидкости:

Здесь плотность жидкости; коэффициент динамической вязкости; вектор скорости; давление; ускорение массовых сил.

Следует отметить, что уравнения Навье — Стокса появились задолго до работ Прандтля. Однако гидродинамики поначалу не

очень доверчиво отнеслись к таким уравнениям. Это заметно в классической монографии [85], и во многих других курсах, где теория вязкой жидкости представлена значительно меньшим объемом, чем теория идеальной жидкости.

Сомнения вызывали не столько сами уравнения, сколько условия прилипания на твердых стенках. Эти условия являются чисто опытными, до сих пор не имеющими твердого теоретического обоснования. Между тем не исключено, что малое скольжение, допускаемое кинетической теорией, в некоторых случаях способно вызвать, как и малая вязкость, немалые эффекты. Самое повышение порядка уравнений, учитывающих вязкое трение, могло явиться источником теоретической неудовлетворенности. Так, если исходить при выводе уравнений движения из кинетической теории газов, где уравнения Навье — Стокса получаются в качестве второго приближения, то возникает вопрос о постановке граничных условий, например для третьего приближения — уравнений Барнета. Что же, кроме скорости, надо еще задавать и трение на стенке? Сама постановка подобного вопроса говорит о неблагополучии ситуации.

Видимо, поэтому в основных курсах гидродинамики предпочтение отдается феноменологическому выводу уравнений Навье — Стокса. Последний имеет простую логическую структуру и опирается главным образом на две аксиомы: о короткодействии внутренних сил, которые, следовательно, сводятся к силам поверхностным, и о тензорном законе вязкого трения, обобщающем закон Ныотопа. При этом линейная связь между касательными напряжениями и скоростями деформаций может рассматриваться как имеющая источник в термодипамике необратимых процессов. В такой постановке, по сути дела, отсутствует модельный элемент, за исключением того, что жидкость есть подвижная сплошная среда, в которой касательные напряжения возникают лишь при наличии скоростей деформаций, т. е. течения.

Что касается условий прилипания, то в феноменологической постановке они могут быть заменены некоторыми условиями проскальзывания. Однако эксперимент, относящийся к обычным условиям течения, определенно говорит в пользу условий прилипания. Исключение составляют лишь весьма разреженные газы. Но и в кинетической теории в пределе малой длины свободного пробега молекул в качестве граничного условия вырабатывается условие прилипания.

Приведенные соображения говорят в пользу уравнений Навье — Стокса с условиями прилипания, как фундаментального закона природы. Весь имеющийся опыт физического и численного экспериментов убеждает в правильности такого вывода. Даже неоднократно высказанные сомнения по поводу применимости уравнений Навье — Стокса к проблеме турбулентности теперь, по-видимому, полностью отпали под влиянием прямых численных экспериментов последнего времени [111, 218]. Но если это так, то как же быть с

парадоксами вязкой жидкости? Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть строго доказанные утверждения, относящиеся к постановке задач гидродинамики вязкой жидкости, и тем самым выявить роль ограничивающих условий, содержащихся в формулировках теорем, нарушение которых и приводит к возникновению разного рода парадокса. Однако прежде чем переходить к этому вопросу, приведем необходимые для дальнейшего известные гидродинамические соотношения, вывод которых содержится во многих курсах механики жидкости, например в [18].

В случае переменной кинематической вязкости удобно использовать уравнения Навье — Стокса (1) в тензорных обозначениях:

Данные соотношения непосредственно пригодны для декартовой системы координат с После применения оператора и введения завихренности уравнения (1) приобретают форму Гельмгольца

В случае плоского движения введение функции тока позволяет добиться тождественного выполнения уравнения неразрывности

Вектор о в этом случае имеет единственную ненулевую компоненту

Уравнение (3) приобретает форму уравнения теплопроводности и выражает процесс конвективной диффузии завихренности

Тензор напряжений связан с тензором скоростей деформаций обобщенным соотношением Ньютона

В цилиндрической системе координат уравнения движения имеют вид

Компоненты тензора напряжений выражаются соотношениями

В случае осесимметричного движения, когда возможно введение функции тока, обеспечивающей выполнение уравнения неразрывности,

В сферической системе координат имеем

(см. скан)

Для осесимметричного движения при можно ввести функцию тока Стокса согласно соотношениям

В случае стационарного движения уравнение (2) можно записать в дивергентной форме

где введен тензор плотности потока импульса

Поток должен сохраняться при переходе через поверхности разрыва, расположенные внутри жидкости. Уравнения движения в форме (14) удобно использовать для получения интегралов сохранения при стационарных течениях. Интегрирование (14) по объему не содержащему особенностей и заключенному внутри контрольной поверхности путем использования формулы Гаусса — Остроградского, позволяет получить теорему импульсов

Аналогично (16) можно получить теорему моментов, которую удобно записать в векторной форме:

Умножение (2) на и интегрирование по области дает теорему об изменении кинетической энергии:

Здесь правая часть представляет диссипативную функцию,

определяющую переход кинетической энергии в теплоту вязкого трения. Ее можно записать в виде

Для описания явлений теплопереноса используется уравнение энергии

где температура; теплоемкость; X — теплопроводность жидкости.

В случае несжимаемой жидкости приведение уравнения (1) к безразмерной форме вырабатывает единственный критерий подобия — число Рейнольдса где характерные скорость и масштаб течения; коэффициент кинематической вязкости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление