Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

1.1. Предварительные замечания

Пусть вектор скорости параллелен некоторой фиксированной плоскости и допускает представление

где полярпые координаты; давление на бесконечности. Такая структура решения является обязательной, если постановка задачи содержит характерного масштаба длины. При выборе переменной играющей роль безразмерного времени, предполагалось, что физическое время меняется от пуля до бесконечности. Из-за того, что в определение входит фиксация не означает одновременности для всего течения и, напротив, при фиксированном комплекс пробегает значения от до При изменении от до 0. После подстановки представления (1) в (1.1.8) получаем систему

Здесь точка означает дифференцирование по а штрих — по

При стационарном течении Тогда из второго уравнения (2) следует или

и в случае уравнение для принимает вид

где Константа С, таким образом, определяет величину давления там, где например, на стенке. Этот класс решений для течений вязкой жидкости был впервые указан Джеффри [186]

Рис. 14.

и детально изучен Гамелем [178]. Анализ решений (4) облегчается тем, что они выражаются через эллиптическую функцию Вейерштрасса [49]. Он изложен подробно в курсе [78].

Здесь, однако, будем использовать как более наглядный метод фазовой плоскости. Подстановками

уравнение (4) приводится к виду, не содержащему параметров

а умножение на у и интегрирование дает

где В — константа интегрирования.

Вместо того чтобы анализировать отдельные решения, изучим характер векторного поля на фазовой плоскости [3]. Фазовый портрет рассматриваемого движения изображен на рис. 14. Параметром служит величина В. Две стационарные точки — седло и центр соответствуют равномерному по углу стоку и источнику жидкости в начале координат. Случай медленных движений, когда соответствует окрестности стационарной точки В случае, когда ограничивающие стенки отсутствуют, физический смысл имеют только периодические решения, отвечающие замкнутым траекториям на рис. 14. Они расположены между стационарной точкой и сепаратрисой

При этом величина В меняется от при до пуля при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление