Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2. Течение в диффузоре

Обозначим величину угла между стенками диффузора через а. Следуя [87], определим как отношение расхода к вязкости:

Угловыми скобками обозначено среднее по углу значепие Для

анализа некоторых свойств решения удобнее пользоваться безразмерным комплексом, в котором в качестве масштаба скорости используется ее максимальное значение Поэтому определим критерий

Введем еще одну безразмерную характеристику течения

которая определяет зависимость от среднего по углу давления. При малых углах раствора комплексы являются «уни-ъерсальными», т. е. любой из них может служить единственным безразмерным параметром, от которого зависят свойства решения. Действительно, заменой переменных уравнение (4) после умножения на и однократного интегрирования приводится к виду

где константа а должна быть определена из граничных условий, например, при интегрировании от с начальным значением из условия При вторым членом в фигурной скобке можно пренебречь. Если комплекс остается не малой величиной (это значит, что число Рейнольдса стремится к бесконечности), то он остается единственным параметром.

Напротив, при малых числах Рейнольдса и при имеем т. е. профиль скорости переходит в параболический, как при течении Пуазейля в плоском канале.

Зависимость для а при различных значениях приведена (согласно [206], кроме на рис. 15. Отрицательному значению соответствует сходящееся течение в диффузоре. При больших в ядре течения что соответствует потенциальному течению типа стока. Вблизи степок развиваются пограничные слои толщиной — Таким образом, сходящееся течение существует при всех и при реализуется классическая схема Праидтля: возникают потенциальное ядро и пристенные пограничные слои.

Напротив, расходящееся течение существует только до определенного значения Если решение непрерывно продолжить, сохраняя симметрию, в область то вблизи стенок возникает возвратное течение. Когда в этом течении развиваются два пристенных пограничных слоя и один внутренний (см. рис. 15, ). При фиксированном имеем . Следовательно, вблизи оси , и профиль имеет солитоиоподобный вид. Интервал между и первым положительным корнем функции составляет полный период эллиптической функции, поэтому профиль скорости в пограничном слое около повторяет профиль правее Между

Рис. 15.

Рис. 16.

пограничными слоями возникает потенциальное течение типа стока. Максимальное и минимальное значения скорости асимптотически удовлетворяют соотношению

Если при некотором значении существует симметричное решение с обратными течениями, то при меньшем значении существует такое же асимметричное течение. Действительно, если «переместить» стенку в положение ближайшего корня (рис. 16), то получим течение в диффузоре с углом и тем же значением Раздвинем теперь этот угол до . Полагая углы достаточно малыми, чтобы было справедливо получим, что асимметричное течение в диффузоре с углом раствора а существует при значении причем

Описанные свойства течения в диффузоре хорошо известны [18], однако некоторые детали до сих пор оставались невыясненными. Так, в курсе [87] содержатся неточности, касающиеся последовательности возникновения симметричных и несимметричных течений с обратными токами. Бэтчелор, указав на возрастание числа решений с увеличением отметил трудность количественного определения этой закономерности. Приведем результаты анализа и расчетов, проливающие свет на эти и некоторые другие аспекты задачи. Прежде всего отметим, что значение является бифуркационным.

Действительно, как было показано, при существует симметричное решение с обратным течением и два асимметричных, совпадающих с точностью до отражения от срединной плоскости диффузора. С приближением а и, согласно (8), при асимметричные решения сливаются с симметричным. При решений с обратными токами не существует. Таким образом, при происходит прямая бифуркация асимметричных режимов от симметричного. Это подтверждают и численные расчеты для а результаты которых представлены на рис. 17 и отражают зависимость расхода от максимальной скорости.

Целочисленный параметр на рис. 17 сначала примем равным единице. При существует единственное решение, соответствующее течению в одном направлении, — втекающему при и вытекающему при Точка В на рис. 17, для которой является бифуркационной. Поскольку угол достаточно мал, ее параметры близки к известным предельным величинам При переходе через точку В слева направо, во-первых, исходное симметричное течение перестает быть однонаправленным и переходит в режим с возвратными течениями у обеих стенок (101). Во-вторых, происходит ветвление двух асимметричных режимов с возвратным течением у одной из стенок ( Поскольку и расход, и максимальные скорости у них совпадают, оба режима соответствуют одной и той же штриховой линии на рис. 17.

Покажем, что бифуркационных точек типа В счетное множество: где число участков вытекания.

Итак, имеется диффузор с углом а. Пусть угол а достаточно мал, чтобы считать свойства решения зависящими только от комплекса или Рассмотрим решение при критическом значении Построим диффузор с углом Поскольку не зависит от угла, то в критическом режиме течения в уменьшенном диффузоре максимальная скорость будет в а расход в раз больше, чем в исходном. Теперь соединим уменьшенных диффузоров вместе и уберем промежуточные стенки. Это можно сделать, поскольку в критической ситуации не только скорость, но и ее производная по углу и, следовательно, трение на стенках равны нулю. В результате соединения вновь получаем диффузор с углом раствора а. Максимальная скорость при соединении остается неизменной, а расход возрастает в раз. Таким образом,

Описанное построение при воспроизведено на рис. 18. Аналогичное построение можно выполнить для асимметричных

Рис. 17.

Рис. 18.

режимов. Поскольку профиль скорости течения типа 10 соответствует полному периоду эллиптической функции, наличие или отсутствие промежуточных стенок несущественно. Поэтому штриховая линия на рис. 17 отвечает не только режиму 10, но и где индекс означает повторение раз. При этом, конечно, следует иметь в виду, что по осям отложены величины На плоскости линии будут геометрически подобны, но расположена в раз дальше от начала координат.

Для симметричных режимов такого подобия нет, поскольку им не соответствует полный перид эллиптической функции. На рис. 17 штрихпунктирными кривыми показаны результаты численного расчета при соответствующих зависимостей для режимов (слева) и 10101 (справа). При характер зависимостей сохраняется качественно таким же, но с ростом расстояние между ветвями на рис. 17 убывает пропорционально и все они в пределе приближаются к линии 10.

Таким образом, карта решений на плоскости параметров достаточно проста. Решения расположены изолированными группами по четыре в каждой. Решения, принадлежащие одной группе, переходят друг в друга в бифуркационной точке Число решений с увеличением растет асимптотически по закону

где целая часть. С ростом число решений «уменьшается», но при любом значении в том числе при существует счетное их число. На каждой группе связанных решений величина расхода ограничена сверху и достигает максимума на решении с наибольшим числом участков втекания (точка на рис. 17 при

При монотоппом увеличении расхода через диффузор в момепт прохождения точки (и аналогичных при поле скорости испытывает скачок, в результате которого меняется как амплитуда, так и число колебаний профиля радиальной скорости.

Свойства устойчивости решений существенно зависят от того, какую характеристику течения считать заданной. Ситуация наиболее проста, если заданной величиной считать В этом случае в силу структуры кривых на рис. 17 и общих теорем [3, 62] в каждой группе из четырех решений устойчивыми (относительно возмущений из специального автомодельного класса) являются решения с минимальным числом колебаний профиля скорости. В первой четверте это совокупность режимов В следующей четверке — верхняя ветвь решений типа и решения

Однако задание величины максимальной скорости с физической точки зрения кажется искусственным. Представляется более естественным задавать расход или градиент давления, подразумевая, что диффузор является идеализацией части канала,

Рис. 19

Рис. 20.

Рис. 21.

соединяющего емкость большого давления с емкостью малого давления. В подобной конструкции с гидравлической точки зрения наибольшее значение имеет зависимость расхода от перепада давлений.

Для течений в диффузоре с углом раскрытия 10° зависимость расхода от градиента давлепия показана на рис. 19, 20. Она имеет на первый взгляд парадоксальный характер. Величина ограничена сверху значением , достигаемым при При дальнейшем увеличении расхода перепад давления уменьшается, обращается в нуль при а затем становится отрицательным. Другими словами, для обеспечения достаточно большого расхода вытекающей жидкости около вершины диффузора должно быть создано разрежение.

Здесь проявляется коренное различие между ползущими течениями вязкой жидкости, в которых для преодоления трения давление вниз по потоку должно падать, и течением идеальной жидкости, в котором в соответствии с теоремой Бернулли уменьшение скорости вниз по течению должно сопровождаться повышением давления. Ситуация становится особенно наглядной, если вновь рассмотреть диффузор как переходной участок между двумя большими емкостями. Такой переходник в некотором сечении имеет Пережим и при больших скоростях давление вниз по течению сначала падает, достигает минимального значения в горле сопла, а затем возрастает до величины давления в приемном резервуаре.

Автомодельное решение аппроксимирует течение на участке возрастания давления,

Из сказанного следует, что критерий характеризует лишь величину перепада давления на диффузорной части канала, соединяющего резервуары, в то время как расход является единой характеристикой течения как в его автомодельной части, так и на других участках. Поэтому задаваемой извне величиной целесообразно считать именно расход. В этом случае свойства устойчивости решений будут другими. На рис. 17 устойчивым решениям для первой четверки соответствуют сплошные линии, а неустойчивым — штриховая.

Скачкообразное изменение поля скорости при увеличении расхода может быть связано с явлением отрыва. В переходном канале отрыв происходит вблизи горла сопла в пеавтомоделыюй области. Если предположить, что течение и при отрыве остается ламинарным или становится таковым вниз по потоку, то достаточно далеко отрывное течепие должно соответствовать автомодельному решению со знакопеременным профилем радиальной скорости. Например, отвечает симметричному отрыву у обеих стенок. Предположение ламинарности, конечно, весьма сильное, и необходим анализ устойчивости автомодельных решений к возмущениям более общего характера.

Когда угол раствора диффузора не мал, качественно картина сохраняется, хотя геометрическое подобие, использованное на рис. 17, 20, достигается асимптотически при Зависимость критических значений от угла а приведена на рис. 21. Однонаправленное течение существует в области, лежащей левее кривой для и при числах Рейнольдса, отвечающих кривым При а решения, соответствующие кривым на рис. 21, переходят в решения для точечного источника на безграничной плоскости. Стенки диффузора, сливающиеся при угле раскрытия для критических режимов можно безболезненно убрать. Таким образом, задача о течении в диффузоре непрерывным образом переходит в задачу о течении от точечного источника на плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление