Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3. Бифуркация решений в задаче об источнике

Существование счетного числа зависящих от угла решений в задаче об источнике было обнаружено еще Гамелем [178]. Здесь будет показано, что все они бифурцируют от классического потенциального решения для точечного источника которому соответствует решение уравнения Зафиксируем число Рейнольдса следовательно константу , и линеаризуем уравнение (4)

вблизи Линеаризованное уравнение имеет вид

Функция должна удовлетворять условиям периодичности по Нетривиальное решение существует, когда выполнено

При этом с учетом произвола выбора начала отсчета угла собственная функция может быть записана в виде а критические значения числа Рейнольдса определяются формулой Существование нетривиального решения у линеаризованного оператора является лишь необходимым условием бифуркации, поэтому чтобы выяснить, происходит ли действительно бифуркация и каков ее характер, воспользуемся методом разложения по амплитуде А как по малому параметру [62].

Используя для удобства выкладок вместо числа Рейнольдса величину С в качестве вспомогательного параметра, будем разыскивать решение вблизи значений в виде

где Подставляя ряды (9) в уравнение (4) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях А, получим систему рекуррентных уравнений

Как показано выше, Поскольку оператор левой части вырожден, для существования решения необходима ортогональность правой части к собственной функции Эти условия используются для определения коэффициентов В силу присущей задаче симметрии относительно поворота и отражения коэффициенты - с нечетными индексами оказываются равными нулю. Уравнение для имеет вид

откуда Из уравнения для следует, что условие ортогональности, которое в данном случае эквивалентно равенству пулю коэффициента при дает Таким образом, и в силу того, что имеем

Тем самым установлено, что пеосесимметричные решения бифурцируют в сторону уменьшения числа Рейнольдса. Для

Рис. 22.

колебании конечной амплитуды величину А удобно переопределить как Характер изменения решения с увеличением А можно проследить, обратившись к рис. 14. Осесимметричное решение отвечает При из точки рождается цикл, т. е. замкнутая кривая на рис. 14, причем решению с данной величиной соответствуют обходов замкнутой кривой по часовой стрелке. С ростом А размер цикла возрастает и при цикл «влипает» в петлю сепаратрисы.

Асимптотическая зависимость между определяется соотношениями

где период по В итоге имеем при

Асимптотические зависимости при малых и больших амплитудах сопрягаются на основе численных расчетов (рис. 22). При больших амплитудах профиль радиальной скорости по углу имеет форму цветка, число лепестков которого равно ширина лепестка пропорциональна а максимальная скорость вытекания в два раза превосходит максимальную скорость втекания. О характере распределения скорости на одном периоде можно судить по рис. 15 (кривая для на интервале — На фоне практически равномерного стока из особой точки истекают узкие сильные струи.

Таким образом, анализ, казалось бы, простейшей задачи об источнике вскрывает удивительный факт — существование счетного числа стационарных решений при всех значениях числа Рейнольдса и ветвление этих решений от осесимметричпого режима. Это — новое, можно сказать, парадоксальное свойство уравнений Навье — Стокса. Первая бифуркация происходит в режиме стока при бифуркации с происходят в режиме источника. Наиболее поразительно, что и значение является бифуркационным.

Однако тот факт, что при существует счетное число решений, хотя сам по себе интересен, при более детальном рассмотрении не кажется таким уж необычным. Дело в том, что решения с отвечают не малым значениям Хотя

скорости на участках втекания и вытекания конечны и при сколь угодно велики. Поэтому условие отнюдь не означает медленности течений и малости нормы Однако поскольку значение является бифуркационным, в любой окрестности существуют два решения, отвечающие Следует, конечно, иметь в виду, что малость не означает равномерной малости всех скоростей из-за наличия особой точки в начале координат, где при любой скорость бесконечна.

Описанное множество стационарных решений уравнений Навье — Стокса, связанное с особой точкой принципиально отличается от мультинолей, являющихся решением уравнения Лапласа, для которых угловая и радиальная зависимости согласованы одинаковым индексом Для всех неосесимметричных решений уравнений Навье — Стокса, о которых речь шла выше, радиальная зависимость одна и та же, Кроме того, мультиполи могут иметь произвольные интенсивности, в то время как для рассмотренного семейства при каждом фиксированном числе Рейнольдса амплитуды могут принимать значения только из определенного дискретного множества (см. рис. 22). Таким образом, для выделения определенного стационарного течения от источника необходимо задать не только расход, но и дискретный параметр Ввиду множественности решений принципиальное значение приобретает изучение их устойчивости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление