Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. Автомодельный анализ устойчивости

Прежде чем приступить к исследованию устойчивости, рассмотрим один класс нестационарных решений уравнений Навье — Стокса. Как легко убедиться, поле

является потенциальным. Его суперпозиция с течением от вихре-источника также представляет потенциальное решение уравнений Эйлера, а при отсутствии границ и уравнений Навье — Стокса. Это решения типа мультиполей, о которых речь шла в разд. 1.3. При они имеют сильную особенность в начале координат, а при не убывают на бесконечности. Очевидно, что переходные траектории между найденными стационарными решениями не содержатся в этом потенциальном классе. Около точек бифуркаций осесимметричное и неосесимметричные стационарное решения близки. Поэтому естественно предположить, что переходные траектории, т. е. возмущения, перебрасывающие течение из одного режима в другой, будут в определенном смысле малы.

Для компактности выкладок введем функцию тока Тогда система (2) сводится к уравнению

где Рассмотрим более общий, чем течение от источника, случай вихреисточника, которому соответствует осесимметричное решение с расходом и циркуляцией Исследуем устойчивость этого решения. Представляя решение (10) в виде получим уравнение для возмущений:

Поскольку для возмущений сохранено то же обозначение. Уравнение для малых возмущений получим, пренебрегая в (11) нелинейными членами в левой части,

К сожалению, коэффициенты уравнения (12) зависят от что не позволяет искать возмущения в нормальной форме и сильно затрудняет анализ устойчивости. Поэтому ограничимся анализом поведения возмущений на начальном этапе эволюции, когда и на заключительном этапе, когда

Сначала рассмотрим начальный этап. В этом случае удобно ввести переменную Поскольку из (12) получим

где индексом обозначено дифференцирование по При Пренебрегая членами, имеющими множителем, находим откуда, принимая для возмущений нормальную форму получаем характеристическое уравнение

При нейтральному случаю, когда отвечает что согласуется с формулой для полученной в разд. 1.3. При возмущения нарастают, а при затухают. Однако для анализа устойчивости решающее значение имеет не поведение возмущений на начальном этапе, а их асимптотическое развитие при больших временах. Полагая пренебрежем членом в левой части (12). Тогда допустимо представление возмущений в нормальной форме и из уравнения (12) следует дисперсионное соотношение

Рис. 23.

У корня, отвечающего знаку минус перед радикалом, вещественная часть всегда отрицательна. У другого корня меняет знак при Это соотношение определяет нейтральные кривые на плоскости характер которых показан на рис. является осью симметрии) В критической ситуации Если то возмущения стационарны, что согласуется как с результатами предыдущего раздела, так и с анализом при

Чтобы выяснить, каково поведение возмущений вблизи нейтральных кривых, зафиксируем величину и вычислим производную от к по при

Так как — , производная отрицательна. Следовательно, при (левее соответствующих кривых на рис. 23) возмущения нарастают, а при затухают. Таким образом, при поведение возмущений на начальном этапе (при ) противоположно поведению на заключительном (при ). При каждом фиксированном значении амплитуда зависит от времени немонотонно. При поведение возмущений качественно другое и зависит от величины

Нейтральные возмущения в случае вихреисточника имеют колебательный характер. Возмущенное течение приобретает форму спиральных волн, положение гребня которых описывается уравнением

а число рукавов равно Колебательный характер нейтральных возмущений свидетельствует в пользу того, что на нейтральных кривых происходит бифуркация автоколебательных установившихся режимов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление