Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Спиральные волны и солитоны

Чтобы выяснить характер ветвления и структуру автоколебательных решений, будем, учитывая результаты линейного анализа, искать функцию тока возмущений в форме, свойственной бегущей волпе. А именно предположим, что зависит не от раздельно, а от единого комплекса Обратившись

к системе (11), получим

где штрихом обозначается дифференцирование по Поскольку рассматриваются установившиеся колебания, будем полагать и пренебрежем в членом с Тогда после подстановки (13) в первое уравнение (11) и деления на общий множитель находим

Интегрируя и учитывая, что должно допускаться тривиальное решение получим для

Будем разыскивать решение (14) в виде ряда по амплитуде

В уравнении (14) содержатся три параметра: и Один из них считается фиксированным, второй выполняет роль числа Рейнольдса, а третий — собственного значения. Коэффициенты при нечетных степенях А в разложении для и согласно общей теории бифуркации автоколебаний, равны нулю. Подставляя разложения в уравнение (14) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях амплитуды, получим в полном соответствии с линейным анализом устойчивости. Далее,

откуда Уравнение для имеет вид

Требование ортогональности правой части к собственным функциям оператора левой части сводится к тому, что должно быть откуда определяются

В результате имеем Как и следовало

Рис. 24.

ожидать, при это совпадает с результатами, полученными в разд. 1.3. Поскольку V— 3/2, выражение в квадратных скобках положительно при любых значениях Таким образом, бифуркация автоколебательных режимов тоже происходит в сторону уменьшения числа Рейнольдса

Заметим, что если положить в уравнении (14), то получится уравнение для нелинейного консервативного осциллятора, которое заменами

приводится к уравнению (5). Поэтому колебательные неосимметричные решения качественно ведут себя так же, как и стационарные. При больших амплитудах формируется волновой солитоноподобный режим в виде спиральной структуры, имеющей рукавов. Положение вершины солитона (максимума радиальной скорости) определяется уравнением

как и в случае малых колебаний. Для случая эта структура показана на рис. 24 в некоторый момент времени С течением времени структура поворачивается вокруг начала координат, а ее линейные размеры увеличиваются пропорционально Это волновое движение происходит на фойе стационарного вихрестока, причем направления азимутальных скоростей вихрестока и волны противоположны. Вблизи линий на рис. 24 жидкость узкими струями истекает из начала координат, а в промежутках между рукавами почти равномерно стекает с половинным значением радиальной скорости.

Следует подчеркнуть необычность найденных автоколебаний, периодических по переменной но не по физическому времени В соответствии с (15) время одного оборота линейно возрастает со временем, так что движение асимптотически становится квазистациопарным. Однако если то изменение периода за один оборот мало и волна бежит с почти постоянной угловой скоростью.

Подытоживая изложенные в этом разделе результаты, отметим, что наиболее неожиданный из них — обнаружение неустойчивости классических потенциальных течений типа вихреисточника к автомодельным возмущениям с любым азимутальным числом и связанное с этой неустойчивостью ветвление неосесимметричных режимов.

Обсудим, насколько эти результаты применимы к реальпому источнику жидкости, имеющему конечные размеры. Автомодельное решение естественно интерпретировать как асимптотическое для реального источника на расстояниях, много больших размера источника. Можно ожидать, что в этой ситуации детальная структура потока, порожденного реальным источником, «забывается» и движение определяется лишь величинами, сохраняющимися вниз по течению, т. е. интегралами сохранения. Именно такой подход принят в теории струй вязкой жидкости [26, 96]. Для вязкой жидкости интегралами сохранения служат потоки массы, импульса и момента импульса. Как известно, для плоского течения с заданным потоком импульса скорость убывает медленнее, чем например, в случае сильных струй, Когда поток импульса равен нулю, например, в силу исходной симметрии источника, главными становятся потоки массы и момента импульса. В этом случае скорость убывает как что и реализуется в течение от стационарного точечного вихреисточника.

Приведенные сообраяшния показывают, что величиной, характеризующей интенсивность источника, должен быть взят именно расход, несмотря на то, что определение числа Рейнольдса по максимуму модуля скорости, дает более «естественную» картину неустойчивости, поскольку при каждом фиксированном растущими являются возмущения с азимутальным числом, не превышающим определенное значение.

Для выяснения вопроса, какие из найденных пеосесимметричных решений асимптотически реализуются вдали от конечного источника, следовало бы рассмотреть проблему устойчивости по отношению к пространственному росту возмущений вниз по течению. Однако это представляет собой неавтомодельпую задачу, выходящую за рамки настоящей работы. Впрочем, исследование автомодельной нестационарной нелинейной эволюции на основе системы (2) или (10) не исчерпывается построением найденных здесь специальных решений и представляет собой нерешенную задачу, результаты которой трудно предвидеть.

Заметим, что даже при отсутствии пространственного роста возмущений причиной несимметрии течения может быть устройство самого источника. Например, при стоке воды в отверстие обычно наблюдаются осцилляции по углу, имеющие при наличии свободной поверхности, вероятнее всего, капиллярное происхождение. Они порождают спиральные волны на периферии течения, асимптотическое поведение которых может соответствовать полученным здесь автомодельным решениям.

Среди других гипотетических приложений упомянем такие известные феномены, как «пальцевую» неустойчивость расходящихся течений и спиральную структуру галактик. При закачке воды в пласт для более полного извлечения нефти наблюдается нежелательный эффект. Вместо того чтобы вытеснять нефть, вода

прорывается сквозь нее струями. Сама неустойчивость фронта вода — нефть может быть связана с различием их свойств. Но дальний след подобной неустойчивости имеет характер, напоминающий получеппые здесь решения для стока с выбросами жидкости узкими струями.

Что касается астрофизических приложений, то схематично представим себе галактику в виде материальной плоскости с центральным вихрестоком. Сток моделирует гравитационный захват вещества ядром галактики, а вихрь — наличие исходного момента движения в протооблаке. Развитие описанной здесь автомодельной неустойчивости вихрестока приводит к возникновению спиральных полос, вдоль которых вещество движется от центра и стекает к центру в промежутках между полосами. Со временем вещество будет концентрироваться в спиральных рукавах. В этом смысле решение с азимутальным числом ветвящееся при малых обилыгостях стока, моделирует в рамках рассмотренной схемы развитие двухрукавной структуры галактики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление