Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

2.1. Общие свойства

Весьма необычным и даже, можно сказать, отличительным свойством пространственных конических течений вязкой жидкости является возможная потеря существования решения при конечных числах Рейпольдса и связанное с этим формирование предельно сильных струй.

Затопленную струю в теории движения вязкой жидкости связывают с наличием источника импульса. Вязкие струи эжектируют окружающую жидкость, порождая во внешней области вторичиые течения. Интенсивность этих течений может оставаться конечной даже при бесконечном усилении струи, когда скорость на оси и импульс становятся сколь угодно большими. Теперь представим себе, что внешнее течение создается независимо соответствующими специальными источниками движения. Тогда струя окажется вынужденной, индуцированной, и должна характеризоваться интенсивностью этих специальных источников. Однако если в такой ситуации интенсивность источников будет приближаться к определенному конечному пределу, импульс индуцированной струи может обратиться в бесконечность.

Так возникает кризис, или «гидродинамический взрыв». При конечном числе Рейнольдса, построенном по интенсивности упомянутого специального источника, решение теряет существование. Потере существования предшествует возникновение струйных пограничных слоев. Учет этого обстоятельства и использование приближения пограничного слоя позволяют в ряде случаев

проаиализировать околокритические и критические ситуации аналитически. Следует отметить, что струйные пограничные слои, описывающие необычные гидродинамические явления, сами обладают необычными свойствами, существенно отличаясь от пограничных слоев, развивающихся вблизи поверхностей обтекаемых тел.

Классическая теория Прандтля [227, 144] для пограничного слоя вблизи поверхности тела содержит следующие положения:

а) внешнее течение описывается в рамках модели идеальной жидкости (и, как правило, потенциально);

б) внешнее решение удовлетворяет условию непротекания через границу;

в) в пограничном слое продольная компонента скорости уменьшается до нуля, что обеспечивает выполнение условия прилипания на поверхности;

г) толщина пограничного слоя стремится к пулю, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности.

Струйные пограничные слои отличаются по всем перечисленным пунктам:

а) внешнее течение описывается в рамках уравнений Навье — Стокса; учет конечности вязкости, как правило, является существенным;

б) внешнее решение не удовлетворяет условию непротекания: струи эжектируют окружающую жидкость;

в) в пограничном слое поперечная компонента скорости уменьшается до нуля, чтобы обеспечить отсутствие особенности типа стока, продольная компонента при этом резко возрастает, а ее значение асимптотически стремится к бесконечности;

г) толщина пограничного слоя может обращаться в нуль, когда число Рейнольдса, определяющее движение, стремится к конечному значению.

Именно такой пограничный слой возникает в задаче о взаимодействии вихревой нити со стенкой, изложенной в гл. 1. Эта задача моделирует течение жидкости, создаваемое вращающейся иглой, перпендикулярной плоскости. Когда число Рейнольдса, определяемое отношением циркуляции к вязкости, приближается к конечному критическому значению, вращение жидкости локализуется вблизи оси и индуцируется сильная струя, бьющая вдоль оси от плоскости. Толщина возникающего при этом пограничного слоя обращается в нуль при критическом значении числа Рейнольдса.

Аналогичное явление возникает в задаче Сквайра [240], которую автор интерпретировал как модель струи, бьющей из отверстия на плоскости. Решение, полученное Сквайром, не удовлетворяет условию прилипания на плоскости, и в связи с этим выражались сомнения [233—235] в том, что оно моделирует реальную струю. Но возможна и другая интерпретация. Если вещество плоскости стягивается в материальный сток, то вследствие увлечения этим движением окружающей жидкости в ней развивается струйное

течение, описываемое решением Сквайра. В таком истолковании задача Сквайра может служить моделью для определенных астрофизических процессов. Когда обильность стока на плоскости, возрастая, приближается к конечному критическому значению, формируется пограничный слой вблизи оси струи. При критическом значении числа Рейнольдса, построенного как отношение обильности стока к вязкости, толщина пограничного слоя обращается в нуль, а индуцированный импульс обращается в бесконечность [37].

Эта задача обобщена на случай закрученных течений в работах [37, 258]. На конической поверхности задается движение типа вихрестока (или вихреисточника). При полуугле раствора конуса, равном и нулевой циркуляции задача сводится к описанной выше.. При заданных значениях угла раствора и циркуляции (в частности, рассмотрены полууглы существуют конечные значения обильности стока, при которых формируется предельная приосевая струя с упомянутыми свойствами.

Аналогичные эффекты возникают еще в ряде задач, физическая интерпретация которых более затруднительна. Отметим, что выявление физического смысла автомодельных решений непростая проблема. Здесь дается новая интерпретация известных и получаемых автомодельных решений на основе детального анализа их свойств. Голубинский и Сычев [31] рассмотрели течение, вызываемое источниками, равномерно распределенными на полуоси присутствии стенки Ниже будет показано, что их решение можно истолковать как предельное для случая, когда источники бьют из конуса малого угла раствора, причем так, что трение на. конусе обращается в пуль. В такой задаче предельная струя развивается, когда число Рейнольдса, построенное по обильности источников, стремится к нулю Впрочем, эта постановка допускает более естественную интерпретацию, которая будет дана ниже.

Другой парадоксальной особенностью задачи о взаимодействии линейного источника с плоскостью является то, что плоскость ускоряет жидкость! Хотя на самой плоскости в силу условий прилипания жидкость, конечно, покоится, но вблизи стенки продольная скорость имеет максимум, величина которого при определенных обстоятельствах неограниченно растет при стремлении вязкости к нулю. Эта индуцированная пристенная струя, как и струи, растекающиеся вдоль коиических поверхностей, усиливается с увеличением числа Рейнольдса асимптотически в отличие от приосевых струй, которые могут стать бесконечно сильными при конечных числах Рейнольдса.

Поскольку предельные струйные течения реализуются на границе существования решений определенного класса, а эта граница отвечает конечным числам Рейнольдса, естественно возникает вопрос: что происходит, когда число Рейнольдса превосходит критическое значение. Представляется разумным предположение, что еще при докритических числах Рейнольдса стационарное

осесимметричное течение теряет устойчивость, происходит бифуркация решений, не обладающих такой симметрией, которые наследуют свойство устойчивости.

Прямой анализ устойчивости и ветвления весьма труден, поскольку исходное течение двумерно и осуществляется в бесконечной области, а возмущения не допускают автомодельного представления. Однако ценой определенной схематизации можно попытаться обойти эту трудность. Эксперименты свидетельствуют о том, что в сильных струях область турбулентного движения охватывает узкую приосевую зону и наблюдается достаточно резкая граница между турбулентной струей и внешним медленным и практически стационарным движением. В задаче о внешнем течении толщиной турбулентной части струи можно в первом приближении пренебречь. В этом случае на оси допустимы (если они неизбежны) особенности. Из этого, собственно, исходил в своей постановке Серрин [236] (см. также гл. 1). Но тогда остается открытым вопрос о величине коэффициента при особенности. Серрин решает его путем дополнительной гипотезы физического характера.

В нашей работе избран другой путь. Та или иная особенность, помещаемая на оси, фактически призвана моделировать определенные интегральные характеристики некоторого реального объекта, имеющего ненулевые размеры, например, турбулентного ядра струи. Поэтому для разрешения ряда парадоксов здесь используется в каком-то смысле обратный прием. Ядро струи помещается в конус малого угла раствора, на поверхности которого ставятся подходящие граничные условия. Затем осуществляется предельный переход, когда угол уменьшается до нуля. Результаты предельного перехода оказываются далеко не тривиальными и, вообще говоря, не согласуются ни с предположением Серрина, ни с постановкой Голубинского и Сычева [31].

Итак, рассматривается класс пространственных конических автомодельных решений уравнений Навье — Стокса, имеющий представление

Здесь сферические координаты. Поля скорости и давления не зависят от азимутального угла и стационарны. Этот класс для случая был указан Слезкиным [120], который обнаружил, что задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Позднее аналогичный вывод сделали независимо Яцеев [151] и Сквайр [240]. Для закрученных течепий порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений также может быть понижен [212, 199, 32].

К классу (1) принадлежит ряд течений с обязательной автомодельностью, когда характерный размер отсутствует, а движение задается величинами, имеющими размерность кинематической вязкости Таковыми могут служить, например, циркуляция обильность линейного или плоского источника или стока. Сюда же относится задача об осесимметричной струе, характеризуемая импульсом поскольку как раз имеет размерность вязкости. Для подобных движений справедливо утверждение [117]: если решение существует, то оно автомодельно в смысле представления (1). После подстановки представления (1) в уравнения Навье — Стокса, записанные в сферической системе координат, получим (см., например, [37])

Таким образом, все разнообразие задач из этого автомодельного класса сводится к решению системы (2), (3) при соответствующих граничных условиях.

Функция тока Стокса для движения в меридиональной плоскости связана с функцией у соотношением

Движение в меридиональной плоскости не зависит от вращательной скорости, если Полезно ввести функцию определив уравнением

В этом случае уравнение (2) можно трижды проинтегрировать;

Уравнение (3) также может быть проинтегрировано:

причем в силу (9) удовлетворяет уравнению

Парадоксальные свойства, встречающиеся у решений данного класса, математически обусловлены тем, что (11) при заданной функции является каноническим уравнением типа Рикатти и, следовательно, функция может иметь полюса даже в области непрерывной правой части [97]. Когда при изменении параметров

полюс попадает в интервал допустимых значений х, решение рассматриваемой краевой задачи перестает существовать. Приближение полюса к интервалу порождает пограничные слои.

В данной работе внимание сосредоточено на критических явлениях, когда полюс проходит через границу интервала при конечных значениях числа Рейнольдса. Точнее говоря, имеется в виду ситуация, когда все величины, входящие в постановку краевой задачи, остаются ограниченными, а решение становится неограниченным. Покажем, что такой кризис возможен только при условии, что ось содержится в области интегрирования. Сначала рассмотрим случай, когда на границе поставлено условие непротекания, и убедимся, что полюс не может пройти через эту границу при Подстановкой получим из уравнения (11)

Если функция ограничена, то по теореме Штурма корпи и чередуются и являются простыми. Действительно, если обращаются в нуль при одном и том же значении х, то Следовательно, нули и полюса функции обладают теми же свойствами. Прохождение полюса через границу т. е. слияние полюса и корня, возможно только в том случае, если обращается в бесконечность при Поскольку в бесконечность должен обращаться числитель (см. (11)), который характеризует источники движения. Случай, когда задана величина сводится к рассмотренному заменой переменных. Отметим, что полюс функции не может появиться внутри интервала, например, попав туда из комплексной области. В последнем случае вновь родившийся корень функции должен быть кратным и снова следует Таким образом, если источники движения, определяемые краевыми условиями, ограничены, то ограничено и решение.

Иначе обстоит дело, если ось принадлежит области течения. В этом случае кризис возможен при конечном числе Рейнольдса, как это показано в гл. 1, и в чем можно убедиться на примере известных точных аналитических решений (см. разд. 2.2). Физически это связано с кумуляцией импульса при сходящемся к оси течении жидкости, и в этом отношении осесимметричный случай радикально отличается от плоского.

Возникающие в околокритической ситуации сильные струи не бьют из внешнего источника, а порождаются самим течением, т. е. индуцированы. Чтобы обосновать и пояспить это утверждение, рассмотрим типичные постановки краевых задач. Наиболее общей краевой задачей является задание граничных условий на конических поверхностях Например, на конусах может быть задан вектор скорости в рамках ограничений (1). В этом случае коэффициенты уравнений (2), (3)

не имеют особенностей на интервале интегрирования. И хотя для автомодельного класса (1) общие теоремы о существовании стационарных решений [84, 129] неприменимы, разрешимость такой задачи, по крайней мере при малых числах Рейнольдса, не вызывает сомнений. Когда одна из полуосей принадлежит области течения, коэффициенты при старших производных обращаются в нуль при Как будет показано на примерах, это обстоятельство может радикально повлиять на свойства краевой задачи и ее разрешимость.

В обсуждаемой ситуации существует альтернатива: либо ось рассматривается как внутренность области течеиия и тогда на ней формулируются условия аналитичности, либо ось остается границей течеиия, на которой расположен источник движения, и тогда на оси помещается вполне определенная особенность.

Для дальнейшего полезно классифицировать возможные особенности на оси, придав им ясный физический смысл. Попытка классификации была предпринята в работах [225, 222, 223]. Здесь предпочтение отдается подходу Ландау [86, 87], основанному на рассмотрении потока импульса

Для конических течений можно ввести безразмерный тензор я, связанный с соотношением Полезно выписать компоненты в сферической системе координат:

Физический интерес представляют такие особенности на оси, которые являются идеализацией некоторого реального источника движения, имеющего ненулевые размеры. Например, это может быть топкая вращающаяся игла или турбулентная приосевая струя, которая служит (благодаря эжекции) стоком для окружающей среды и источником импульса. Поэтому поместим полуось конус малого угла раствора, рассмотрим граничные условия на конусе как источник движения окружающей среды, а затем осуществим предельный переход

В силу автомодельности и осевой симметрии достаточно рассмотреть часть поверхности конуса в виде кольцевой области, расположенной между сечениями имеющей площадь Если нормальная компонента скорости на конусе отлична от нуля, то расход на единицу длины образующей составляет Сохраняя неизменным при предельном переходе получим линейный сток с равномерно распределенной обильностью на единицу длины

Пусть теперь конус непроницаем для жидкости. Источником ее движения могут служить касательные напряжения Первое из них порождает силу трения или, что то же самое, поперечный поток осевой компоненты импульса на единицу длины:

Переходя к пределу и полагая, что получим где при Конечность этого предела означает, что вблизи оси имеет представление

Другими словами, продольная скорость на оси имеет логарифмическую особенность. При этом т. е. поперечная скорость на оси обращается в пуль, . Источники импульса распределены на оси неравномерно, обильность потока импульса на единицу длины оси пропорциональна Как следует из уравнения (8), две рассмотренные особенности несовместимы: либо есть источник массы и тогда а ограничена, либо имеет логарифмическую особенность, но тогда т. е. источник массы отсутствует.

Рассмотрим теперь источник движения, порождаемый ненулевым значением на конусе. В силу осевой симметрии такое напряжение не порождает силы, действующей на выделенную область конуса, но создает осевой момент силы или, что то же самое, поток осевой компоненты момента импульса на единицу длины оси,

или в пределе В частности, при Таким образом, сохраняя поток осевой компоненты момента импульса при предельном переходе получим вихревую пить с постоянной циркуляцией. Вихревая нить совместима с источником массы на оси, но не любой обильности. Как следует из уравнения (3), если то -Требование ограниченности циркуляции может быть выполнено только при При ограниченным является лишь тривиальное решение Вихревая нить вполне совместима и с более слабой логарифмической особенностью, т. е. с источником осевого импульса. Такая задача рассмотрена Серрином [236].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление