Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Струя Ландау и ее обобщения

Выделенный случай в классе конических течений — струя Ландау [86]. Задача рассматривается в безграничной области и требуется выполнение условий регулярности всюду, кроме начала координат. Формально число однородных граничных условий на

полуосях соответствует порядку системы уравнений. В этой ситуации всегда существует тривиальиое решение. Однако существует и нетривиальное решение, найденное Ландау, зависящее от свободного параметра, который однозначно связан с величиной потока импульса из начала координат.

Таким образом, движение может определяться либо граничными условиями, либо точечным источником. Заметим, что эти два случая являются взаимоисключающими. При задании того и другого задача с очевидностью будет переопределенной, что находится в некотором противоречии с интуитивными представлениями о независимости и совместимости этих источников движения в реальных струях. Действительно для струи, бьющей из отверстия в стенке, можно независимо задать и поток импульса из отверстия и поле скоростей на стенке, например условия прилипания. Однако оказывается, что этого нельзя сделать в пределе бесконечно малого отверстия, потому что, согласно теореме Седова, решение должно быть автомодельным и принадлежать классу (1), что из-за нереопределенности задачи невозможно. Сказанное не означает, что кроме решения Ландау не существует автомодельных течений струйного типа. Но такие струи, вызванные движением границ, естественно считать индуцированными.

При равной нулю вращательной компоненте скорости уравнение (9) принимает вид

Требование регулярности поля скорости на оси приводит к условию Тогда из требования ограниченности производных получим из Таким образом, уравнение (12) можно переписать в виде

Решение последнего уравнения выписывается в аналитической форме [151, 240]. Подстановка приводит к уравнению Эйлера решения которого имеют вид Если то Отсюда где и приходим к классическому решению Ландау

Чтобы на интервале — не было особенности в виде полюса, необходимо, чтобы Случай соответствует струе, бьющей вдоль полуоси случай в противоположном направлении.

Картина линий тока при приведена на рис. 25 [18]. Источник импульса находится в начале координат. Штриховая линия — геометрическое место точек, в которых линии

Рис. 25.

тока максимально сближаются с осью симметрии,

0. Импульс струи т. е. полный поток осевой компоненты импульса через сферу, окружающую начало координат, связан с константой А соотношением

Импульс монотонно возрастает от до при изменении А от до 1. При значениях А, близких к единице, скорость на оси становится большой — Введем малый параметр и внутреннюю переменную тогда после подстановки в решение Ландау и устремления к нулю получим что совпадает с решением Шлихтинга [144] для осесимметричной струи в приближении пограничного слоя. Внешнее решение соответствует Поскольку на оси формируется сток с обильностью на единицу длины Величина определяет предельную эжекцию жидкости ламинарной струей.

Естественно ожидать, что достаточно сильная струя турбулизируется. Эжекция турбулентной струи в отличие от ламинарной неограниченно возрастает с увеличением импульса. Поэтому для моделирования внешнего течения может быть рассмотрена задача, когда на положительной полуоси равномерно размещены стоки некоторой обильности Такая задача рассмотрена в работе [222]. Ее решение имеет вид Если то точное решение, указанное Яцеевым [151], а затем Сквайром [240] имеет вид

Здесь

При этом

Яцеев пришел к заключению, что это решение не имеет физического смысла, поскольку при быстро осциллирует. Можно, однако, ограничить область течения интервалом Так поступил Сквайр, который интерпретировал решение, в частности при как струю, бьющую из отверстия на плоскости. Но этот подход, как будет показано, не выдерживает критики. Описанный класс точных решений уравнений Навье — Стокса допускает следующую интерпретацию. На конусе течение задано источником с обильностью которое порождает в окружающей жидкости струйное движение.

В случае жидкость подтекает извне к вершине конуса, а затем движется вдоль его образующей. Никаких ограничений сверху на обильность нет, но с ее увеличением вблизи поверхности конуса развивается пограничный слой. Он обладает рядом свойств классического пристенного пограничного слоя, однако есть и существенное отличие. Нетрудно убедиться, что для любого отношение квадратных скобок формулы (14а) при стремится к Следовательно, в пределе во внешней области получаем потенциальное течение Однако это внешнее решение не удовлетворяет ни только условию прилипания, по и условию непроницаемости. Поверхность конуса служит стоком для внешнего течения, что связано с эжекцией жидкости пристенной струей. Толщина вытеснения при как нетрудно показать, выражается асимптотической формулой

Естественно определить число Рейнольдса как Тогда как и в классическом пограничном слое. Распределение скорости внутри пограничного слоя имеет вид

В случае стока струя стекает с вершины конуса и движется вдоль полуоси С увеличением обильности стока импульс струи и скорость на оси возрастают и при некотором значении или обращаются в бесконечность. Это происходит, когда знаменатели в формулах (14) обращаются в нуль при Критические значения параметров определяются уравнениями

Если обильность стока превышает критическое значение, внутри интервала интегрирования функция имеет полюс, который с увеличением обильности движется от границы С другой стороны, в силу граничных условий точка является нулем функции Когда обильность равна критической, корень и полюс сливаются в точке В этом случае не имеет особенностей на интервале интегрирования, но принимает отличное от

нуля значение при В силу уравнения (13) имеем Таким образом, получается, что в пределе на оси располагается индуцированный сток обильности который и порождает внешнее течение

Отметим существенную разницу в поведении внешних течений для случаев Если в первом из них с ростом а эжекционная способность пристенной струи неограниченно возрастает то во втором случае эжекционная способность приосевой струи с ростом импульса до бесконечности имеет конечный предел Соответственно ведут себя и сами внешние течения. При обильностях, близких к критической, около оси формируется узкая область больших скоростей — зона сильной струи. Величина у уменьшается от значения, близкого к 4 на границе этой зоны, до на оси, а величина принимает большие отрицательные значения.

Введем, как и ранее, малый параметр и новую независимую переменную С учетом соотношения из уравнения (13) находим

Устремляя получим уравнение для главного члена разложения нриосевого пограничного слоя

откуда опять приходим к решению Шлихтипга. Этот результат при был получен в монографии [37]. Отметим, что погранслойное решение (15) не зависит от следовательно, от угла раствора конуса Поскольку для решения Шлихтинга существенны лишь условие регулярности на оси и наличие пограничного слоя, оно аппроксимирует вблизи оси широкий класс течений струйного типа. Возвращаясь к исходным переменным, перепишем его в виде

В соответствии с теорией сращиваемых асимптотических разложений внутреннее и внешнее решения удовлетворяют условию Однако по производным непрерывность не достигается. Действительно, в силу чего при С другой стороны, продифференцировав один раз уравнение (13) и подставив в него , получим В случае струи Ландау

Рис. 26.

Таким образом, радиальные скорости для внутреннего и внешнего решений не только не сращиваются, но и имеют противоположные знаки: в струе а во внешнем течении

На рис. 26 показано распределение радиальной скорости по углу при Сплошная линия соответствует решению Ландау, штриховая — решению Шлихтинга, штрихпунктирная — предельному внешнему течению для струи Ландау. Различие знаков радиальной скорости для внешнего и внутреннего решений сохраняется, в частности, для течения над плоскостью при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление