Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Струя, бьющая из отверстия на плоскости

Поскольку разрыв радиальной скорости неизбежен, то можно попытаться распорядиться его величиной так, чтобы внешнее решение удовлетворяло условию прилипания при Это сделано Шнайдером [233]. Наибольший интерес представляет струйное течение над плоскостью, когда Уравнение (12) с учетом условий прилипания и требования ограниченности при выполнении принимает вид

Величина находится, например, при интегрировании от оси из условия, что В силу того, что константа определяет трение на стенке Величина радиальной скорости на оси связана с соотношением Сопоставление на рис. 27 предельных решений полученного Шнайдером (1), предельного решения Сквайра (3) и потенциального решения показывает, что они существенно различаются по характеру распределения радиальной скорости. Более того, влияние стенки на течение качественно различно. В решении Сквайра плоскость является источником движения, ускоряет жидкость, а в решении Шнайдера тормозит. Потенциальное решение соответствует нулевому трению.

Рис. 27.

Существенно различается и характер линий тока. Для решения Сквайра вблизи плоскости поэтому линия эквивалентна линии тока параллельны плоскости. В случае условия прилипания следовательно, линии тока с увеличением удаляются от стенки. Другими словами, из-за трения жидкость тормозится и происходит оттеснение линий тока от плоскости. Решение Шнайдера может быть хорошо аппроксимировано полиномом третьей степени коэффициенты которого определяются по известным граничным условиям на стенке и на оси. Этот полипом с графической точностью сливается с кривой 1 на рис. 27, построенной на основе численного интегрирования уравнения (17).

Если задаться целью описать распределение скорости для струи, бьющей из конечного отверстия в стенке, на расстояниях, много больше размера отверстия, то решение Яцеева — Сквайра в силу указанных свойств представляется малоподходящим. Модель Шнайдера более адекватно отражает влияние стенки. Он построил равномерное асимптотическое представление которое призвано аппроксимировать реальное течение при всех углах с точностью Но возникает вопрос: какое течение при этом аппроксимируется? Известно [210, 226], что автомодельного решения, удовлетворяющего условиям прилипания и регулярности на оси, не существует. В этом легко убедиться непосредственно. Требование приводит к т. е. к решению Ландау, но тогда каково бы ни за исключением

Кроме этих формальных аргументов с целью физической интерпретации полезно рассмотреть баланс потока импульса где тензор полного потока импульса. Выберем контрольный объем в жидкости, ограниченный двумя полусферами радиуса и соответствующей кольцевой областью на плоскости Пусть и направление нормали к поверхности выбрано так, чтобы ее проекция на ось z была положительна. Тогда где индексы 1 и 2 соответствуют полусферам, стенке. В книге [37] показано, что для решений из класса (1), регулярных на оси поток импульса через любой участок конической поверхности равен нулю. Следовательно, и поток импульса через любую полусферу один и тот же. Иначе обстоит дело с решением Шнайдера. В условиях прилипания поток импульса через плоскость полностью определяется давлением. Из (4) и (7) следует, что откуда

Таким образом, поток импульса через полусферу не является инвариантом. С другой стороны, как уже

упоминалось, решение уравнений Навье — Стокса для струи, вытекающей из отверстия конечных размеров, не является автомодельным. Однако если скорость истечения достаточно велика, то на определенном интервале изменения возможно квазиавтомодельное приближение. Поскольку поток импульса может быть сколь угодно большим, тогда как величина ограничена сверху значением 15,3, а логарифм — медленно растущая функция своего аргумента, то в широком интервале значений может быть выполнено условие

Другими словами, поток импульса через полусферу будет почти инвариантом. Тогда решение Шлихтинга хорошо приближает приосевую часть течения. В результате эжекции струя формирует практически равномерный сток на оси симметрии для внешнего течения, поэтому решение Шнайдера также может служить его удовлетворительной аппроксимацией. С ростом импульс постепенно уменьшается. Оценим величину потери импульса. Пусть а — радиус отверстия, радиус, на котором импульс импульс на срезе сопла. Величина с точностью до множителя порядка единицы оценивается соотношением

Для сильных струй Такие струи на практике турбулентны, причем комплекс вычисленный по турбулентной вязкости, является постоянной величиной [144], Если воспользоваться верхней оценкой для получим . Импульс уменьшается на 10% на расстоянии калибров, на расстоянии «1500 калибров, в то время как автомоделыюсть по профилю скорости в опытах достигается уже на 20 калибрах [256]. Это и служит основным аргументом в пользу того, что в широком диапазоне масштабов допустимо квазиавтомодельное приближение и существует как бы промежуточная асимптотика. Это подтверждает прямое сопоставление теории [235] и эксперимента на рис. 28 [263]. Справа линии тока, рассчитанные для равномерного приближения Шнайдера при а слева визуализация течения в глицерине при Струя истекает из отверстия диаметром в стенке, расположенной в верхней части рисунка.

В приведенных оценках величина импульса, воспринимаемого стенкой, рассчитывалась на основе решения Шнайдера. Для больших расстояний такой подход не пригоден. Если следовать ему, то импульс меняет знак и стремится к бесконечности при Достоверность полученных оценок ограничена условием Каково же действительное поведение импульса при Если бы импульс имел пределом конечную величину, то в силу теоремы Седова решение было бы автомодельным из класса (1). Но такого

Рис. 28.

решения, удовлетворяющего условиям прилипаиия, не существует. Отсюда с необходимостью следует, что при Тогда главный член разложения определяется расходом жидкости через отверстие и имеет вид [47]. В силу этого асимптотически убывает пропорционально Суммарный импульс, воспринимаемый стенкой, конечен и равен по величине импульсу струи. В опытах Вигнапского и Фидлера [256] струя била из стенки, размеры которой на два порядка превосходили диаметр сопла, и хотя скорость на оси струи убывала несколько быстрее это отличие на интервале в 100 калибров было невелико.

На рис. 29 приведено сопоставление опытных данных [256] с зависимостями (линия 1) и (кривая 2). На срезе сопла полагается, что равен радиусу сопла а. Таким образом, экспериментальные данные свидетельствуют в пользу того, что в определенном интервале расстояний от сопла квазиавтомодельное приближение вполне приемлемо.

Заметим, что эксперимент [256], относится к турбулентным струям. Визуализация течения в ламинарном режиме выполнена Заунером [263]. Его результаты для приведены на рис. 30. Струя порождает систему кольцевых вихрей. Положение центра ближайшего к отверстию и самого интенсивного вихря

Рис. 29.

Рис. 30.

совпадает с при некотором значении и при малых числах Рейнольдса растет экспоненциально с увеличением импульса,

Итак, за исключением струи Ландау, точные решения уравнений Навье-Стокса класса (1) описывают индуцированные струи, порождаемые распределенными на граппчпой поверхности источниками движения. Струп, бьющие из отверстий на поверхности, не являются автомодельными. Весь импульс такой струи поглощается стенкой. Сохраняющейся величиной, определяющей асимптотическое поведение ноля скорости на больших расстояниях от отверстия, является расход. При этом скорость асимптотически убывает как и примешшо приближение Стокса. Однако если поток импульса из отверстия достаточно велик, то существует интервал расстоянии, где импульс изменяется слабо струя может рассматриваться в квазпавтомоделыюм приближении. Ширина квазиавтомоделытогэ интервала, измеряемая в калибрах, возрастает с увеличением импульса. Но и в этом интервале течение не описывается автомодельными решениями в целом, а лишь по отдельности в приосовой и внешней областях с неизбежным разрывом между пидш прежде всего по потопу импульса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление