Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Проблема потери существования решений

Результаты анализа Шнайдера и Зауиера убедительно свидетельствуют о том, что точные решения Навье — Стокса, полученные Яцеевым и Сквайром, не описывают струю, вытекающую из малого отверстия на твердой поверхности. Их критика Шнайдером заходит настолько далеко, что при упоминании этих решений слово «точные» заключается в кавычки [234]. Это, конечно, полемическое преувеличение. Решения Яцеева — Сквайра не только без всяких кавычек являются точными, но и, как будет показано в дальнейшем, могут иметь важные гео- и астрофизические приложения. В качестве простейшей ситуации, для которой возможно применение этих решений, рассмотрим течение типа стока в ванной.

Вода, стекающая в центральное отверстие, вовлекает в движение окружающий воздух. Сходящееся радиальное течение воздуха вблизи отверстия порождает струю, бьющую вертикально вверх. Для описания движения воздуха вдали от отверстия должно быть пригодно точное решение Яцеева — Сквайра. Но решения (14) перестают существовать, когда обильность стока превышает некоторое критическое значение. Причем это справедливо и в более общем случае, рассмотрим его.

Решения Яцеева (14) могут быть интерпретированы следующим образом. На пористой поверхности дапы касательная и нормальная компоненты скорости или т. е. осуществляется вдув или отсос жидкости под определенным углом наклона. В этом случае и решение имеет вид

если

если

Кризис происходит, когда знаменатель при обращается в нуль, откуда или

Эта зависимость между при которой решение теряет существование, показана на рис. 31 сплошной линией, штриховая линия соответствует она разделяет области применимости приведенных выше формул. Решение существует левее и ниже критической кривой. При она имеет асимптоту а при Случай

соответствует вертикальному вдуву а при получаем решение Сквайра. Для него критическая величина обильности стока на плоскости,

При критических значениях параметров на оси возникает особенность в виде индуцированного стока. Поэтому естественно предположить, что если допускать на оси определенного типа особенности, призванные моделировать, например, турбулентную приосе-вую зону, то решение может быть продолжено в закритическую область. Совместимыми с уравнениями особеностями являются источники жидкости, импульса и момента импульса. В первом и третьем случаях скорость стремится к бесконечности обратно пропорционально расстоянию до оси, а во втором — пропорционально логарифму расстояния. Поскольку особенность, связанная с источником осевого импульса, более слабая, сначала рассмотрим именно этот случай.

Первым источник импульса на оси ввел Серрин [236] в задаче о взаимодействии вихря с плоскостью, допустив логарифмическую особенность на оси для продольной скорости. Закрученные течения рассмотрены в § 3, а здесь обсудим эту модель применительно к обобщению задачи Сквайра. Исходя из уравнений движения (12) и учитывая граничные условия приходим к уравнению

Присутствие логарифмической особенности на оси означает, что существует конечный, не равный нулю предел Дифференцируя уравнение (18) и подставляя получим Неопределенной остается величина В, входящая в разложение вблизи Значение В подбирается так, чтобы в результате интегрирования от до было удовлетворено условие

Как показано в разд. 2.1, величина А определяет вертикальную силу, действующую на единицу длины оси Эта сила может моделировать скорее не влияние на внешний поток турбулентного приосевого ядра, а локализованные вблизи оси эффекты плавучести, если температура ядра иная, чем у окружающей среды. При сила действует вдоль оси вверх, а при вниз.

Результаты анализа поставленной выше задачи отражены на рис. 32. На плоскости параметров каждому квадранту отвечает различная структура течения и, в частности, если имеют одинаковые знаки, то реализуется двухъ ячеистый режим. Случай отвечает решению Сквайра. Если то на плоскости выполнены условия прилипания и движение создается только осевой силой. Такая постановка может служить, например, гидродинамической моделью тепловой конвекции, если архимедовы силы практически отличны от пуля только в узкой приосевой области.

Рис. 31.

Рис. 32.

Подобная ситуация возникает при конвекции, вызванной костром, или пожаром. Штрих пунктирная линия на рис. 32 соответствует симметричному относптелыю плоскости решению, рассмотренному в работе [222]. Такие решения могут представлять интерес как модели внешнего течения, вызванного двумя узкими приосевыми струями, бьющими из начала координат в противоположных направлениях. Похожая картина течения наблюдается вблизи определенных астрофизических объектов. Продолжение штрихпунктирной линии выше границы существования (кривая 2) соответствует линейному стоку в безграничном пространстве Логарифмическая особенность в решении при этом пропадает и сменяется стоком.

Задача с логарифмической особенностью, следовательно, имеет решение при всех значениях Определим границу существования. Три точки, принадлежащие этой границе на плоскости соответствуют решению Сквайра решению Шнайдера решению [222] при Выведем уравнение для границы в общем случае. Заменой уравнение (18) приводится к виду

Пусть и Т — линейно независимые решения этого уравнения. Их можно выбрать так, чтобы в окрестности функция была аналитической, первые члены разложения в ряд которой имеют вид тогда функция имеет представление

Общее решение имеет вид причем поскольку функция определена с точностью до постоянного множителя, не теряя

общности, можно положить Тогда вблизи функция имеет представление

Если то Кризис потери существования соответствует обращению В в нуль, когда корень попадает на границу интервала а именно

Если то Существенно, что т. е. на оси формируется сток. Главный член внешнего разложения по В по-прежнему удовлетворяет уравнению (18), но граничные условия теперь другие: Интегрируя (18) с этими условиями от до и требуя, чтобы найдем связь между параметрами (см. кривую 2 на рис. 32). При получаем тогда в левой части уравнения (18) линейными членами можно пренебречь и в ядре потока приближенно равно где

Выражение в квадратных скобках должно быть положительным. Поэтому приближение справедливо не слишком близко к осн. Во избежание противоречия следует предположить, что при Вблизи оси возникает пограничный слой, внутри которого приближенно Приравнивая положение нулей и получим Вблизи плоскости также возникает пограничный слой толщины из-за того, что не удовлетворяет условию Структура течения достаточно сложна. Вблизи плоскости от начала координат распространяется веерная струя со скоростями порядка В ядре течения формируется опускной режим со скоростями а в окрестности оси существует узкая коническая область с углом раствора в которой жидкость стекает к оси. Таким образом, и на самой границе существования структура течения остается двухъячеистой. При любом значении есть коническая поверхность, разделяющая бассейны стока жидкости на ось и вдоль плоскостн бесконечность. С ростом угол раствора этой сепаратрисы стремится к нулю пропорционально Если то в ядре течения

Теперь во избежание противоречия необходимо, чтобы Однако на самой плоскости подкоренное выражение отрицательно. Следовательно, вблизи плоскости существует пограничный слой, где Сопрягая зависимости получим Таким образом, вблизи плоскости в области шириной формируется сходящееся течение со скоростями В ядре восходящий режим имеет скорости .

Вблизи оси решение также должно быть модифицировано, поскольку не удовлетворяет условию а продольная скорость обращается в бесконечность. Ширина зоны модификации Вблизи оси продольная скорость сохраняет порядок При бассейн стока жидкости на ось в критическом режиме охватывает всю область течения, т. е. на границе существования в нижней полуплоскости двухъячеистый режим вырождается в одноячеистый.

Во всех случаях логарифмическая особенность в распределении радиальной скорости в пределе (извне) исчезает и вместо нее образуется сток на оси. Это свойство является общим для широкого класса задач. Действительно, рассмотрим уравнение

где непрерывна, ограниченная функция, обращающаяся в пуль при Требуется найти решение, удовлетворяющее условию Дифференцируя уравнение, имеем

В силу принятых условий Замена приводит уравнение (19) к виду Его независимые решения имеют представления

Не теряя общности, можно положить откуда

Кризис возникает, когда корень попадает в точку В этом случае

В задаче Серрина, обобщающей задачу о взаимодействии вихря с плоскостью, правая часть (19) удовлетворяет перечисленным требованиям. Поэтому на границе существования решений (см. рис. 11) логарифмическая особенность уступает место стоку на оси. При этом в критической ситуации циркуляция обращается в нуль всюду внутри области течения. Тогда в правой части (19) остается лишь квадратичный трехчлен, а с учетом граничных условий прилипания Уравнение граиицы существования имеет вид где параметр Серрина, связанный с логарифмической особенностью.

Это соотношение определяет часть границы существования (пряхмая линия со штриховкой на рис. 11). Ниже этой линии при есть область (заштрихована), где кроме решений, непрерывно продолжаемых из верхней области, существуют решения,

отвечающие двухъячеистым режимам. Штриховая кривая на рис. И соответствует слиянию этих решений и не связана с появлением сингулярности, которая возникает только на луче ограничивающем область существования при снизу, а при сверху (для второй ветви решений). Подчеркнем, что всей прямолинейной границе существования на плоскости отвечает одно и то же течение, описываемое внешним разложением Шнайдера [233].

Вернемся к обобщенной задаче Сквайра и попытаемся проникнуть в закритическую область другим путем, не вводя априори логарифмическую особенность на оси. Окружим ось конусом и рассмотрим течение в области Уравнение движения имеет вид

Сначала поставим на конусе условия прилипания Подставляя в уравнение находим соотношение между константами: При малых решение уравнения (20) выписывается в явном виде:

При немалых значениях решение находится численным интегрированием от до а константа определяется из условия Результаты численного решения для различных значений представлены на рис. 32. Кривые 4—6 соответствуют Если то в пределе получается решение Сквайра, а при предел совпадает с решением, отвечающим границе существования логарифмически особых режимов. Характер перехода к пределу функции при показан на рис. 33. Цифры на кривых 2, 7 соответствуют числу девяток после запятой в значении Пределу отвечает кривая Стремление к пределу очень медленное и при численном расчете из-за малости приходилось прибегать к удвоенному числу разрядов.

Однако если нашей целью является моделирование турбулентного ядра течения, то условия главным образом, равенство нулю на поверхности конуса продольной составляющей скорости нельзя признать удачными. Поэтому

Рис. 33.

рассмотрим еще один вариант задачи, сохранив условия непроницаемости конуса, но заменив условие прилипания на условие скольжения: Дифференцируя (20) и подставляя получим Обратимся сразу к предельному переходу В пределе имеем Условие и «стирается» и становится конечной, отличной от нуля величиной. Уравнение для внешнего разложения принимает вид

где

Интегрируя (21) от с начальными условиями и подбирая так, чтобы в результате интегрирования получим решение и, в частности, зависимость нанесенную на рис. 32 штриховой линией 3. Результаты численных расчетов, иллюстрирующие характер предельного перехода при представлены на рис. 33. Кривые 3, 5 отвечают пределу Приближение к пределу в случае условия скольжения происходит значительно быстрее, чем для условия прилипания.

При членами в левой части уравнения (21) в, ядре потока можно пренебречь и приближенно принять где

Во избежание противоречия необходимо, чтобы С другой стороны, поскольку то При подкоренное выражение отрицательно, следовательно, вблизи плоскости формируется пограничный слой. Примем для в пограничном слое аппроксимацию где

Потребовав, чтобы в некоторой точке совпадали и а также их первые три производные, найдем Таким образом, как и в случае прилипания, около плоскости развивается пограничный слой толщиной где жидкость течет к началу координат со скоростями В ядре течения реализуется восходящий режим со скоростями Однако около оси, поскольку дополнительный пограничный слой не развивается. Это свидетельствует о хорошем сопряжении внешнего течения с условием на оси, которое моделирует эжекцию турбулентной струи. Еще одним важным свойством является зависимость обильности эжекции от числа Рейнольдса, роль которого выполняет В предыдущих моделях обильность стока на оси, когда такой сток формировался, зависела от и составляла что соответствует ламинарной струе Шлихтинга.

Таким образом, из анализа можно заключить, что допущение логарифмической особенности продолыюн скорости на оси может

моделировать действие подъемной или опускной силы, сосредоточенной в приосевой области. Однако эта модель малопригодна для приближенного описания влияния турбулентного ядра струи на внешнее течение. В последнем случае более адекватной моделью в рамках рассматриваемого автомодельного класса течении является допущение на оси стока жидкости, обплыюсть которого определяется из условия отсутствия приосевого пограничного слоя во внешнем течении. Такой подход качественно согласуется с другой моделью турбулентного течения, связанной с введением эффективной вязкости, зависящей от угла, которая рассматривается в § 4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление