Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА И КЛАССИФИКАЦИЯ ПАРАДОКСОВ

2.1. Постановки гидродинамических задач

Задача математической физики считается поставленной корректно, если добавочные условия, начальные и краевые, обеспечивают: 1) существование решения, 2) его единственность, 3) непрерывную зависимость от данных задачи и параметров. С точки зрения этого определения корректные постановки в гидродинамике составляют небольшой класс задач, относящихся главным образом к течениям с малыми числами Рейнольдса, когда нелинейность уравнений (1.1) не проявляется. С ростом числа Рейнольдса включается действие нелинейности и начинают проявляться свойства, несовместимые с определением корректности. Так, для нелинейных уравнений хорошо известно свойство непродолжимости решения в области значений аргумента, превышающих некоторый предел. Поэтому для нестационарных задач решение за конечный промежуток времени может перестать существовать, потерять регуляторность или единственность. Правда, для физических задач гидродинамики такое поведение означало бы, скорее всего, выход за границы применимости модели. Для стационарных задач нелинейность может породить неединственность решения при одних числах Рейнольдса и его несуществование при других.

Разрешимость гидродинамической задачи существенным образом зависит от ее постановки, т. е. от начальных и главным

образом краевых условий. В гидродинамике обычно используются следующие три типа «классических» граничных условий.

A. Условия прилипания для ограниченной области, связанные с заданием вектора скорости на границе, удовлетворяющего лишь условию соленоидальности.

Б. Условия в бесконечной области для задачи обтекания, когда на обтекаемой границе задаются условия прилипания, а на бесконечности постоянный вектор скорости.

B. Условия на свободных границах. Последние в данной работе не обсуждаются.

Заметим, что в задаче обтекания постоянство вектора является обязательным [134] в отличие от постановок для вихревого движения идеальной жидкости, когда на бесконечности допустимо задание неоднородного поля скорости. Некоторый промежуточный вариант — внутренняя задача в неограниченной области, например задача о течении жидкости в бесконечной трубе. В этом случае вопрос о концевых условиях далеко не тривиален, хотя для ламинарных движений естественно считать, что на концах (имеющих разные сечения) асимптотически должны быть заданы пуазейлевы режимы. Частным случаем задачи в бесконечной области является проблема вязких струй, которая в обобщенной формулировке может быть поставлена следующим образом. На сфере единичного радиуса или на другой ограниченной поверхности дано произвольное поле вектора скорости. Требуется найти стационарное решение этой сферы, сопрягающееся с покоем на бесконечности. Теории вязких струй посвящена обширная литература [7, 26, 96]. Эта проблема подробно обсуждается в настоящей монографии.

Наряду с постановками А, Б, В в принципе возможны и другие самые разнообразные постановки, из числа которых можно упомянуть задание на фиксированной границе области нормальной компоненты скорости и касательного напряжения. Однако последняя постановка может оказаться недостаточной или даже внутренне противоречивой. Примером может служить циркуляционное течение вязкой жидкости в круговой области, на границе которой даны условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Очевидно, что решение такой задачи неединственпо: квазитвердое вращение с произвольной угловой скоростью удовлетворяет всем условиям задачи. Строгие теоретические результаты, полученные для уравнения Навье — Стокса, в основном касаются постановок А и Б [84, 129]. В известной монографии О. А. Ладыженской [84] доказано, что стационарная задача с граничными условиями А или Б имеет, по крайней мере, одно гладкое решение при любых числах Рейнольдса. При этом граница области и граничные условия не обязательно должны быть гладкими. Однако требуется, грубо говоря, ограниченность заданных граничных значений вектора скорости и в общем случае массовых сил.

Для задачи обтекания [134] доказано, что стремление вектора.

скорости к величине различно по разным направлениям. Существует параболоидальная область (след), где возмущения затухают как а вне этой области Проблема единственности стационарных решений решается положительно только для случая малых чисел Рейнольдса. В противпом случае имеется уверенность, что неединственность является скорее правилом, чем исключением. Классический пример такого рода представляет знаменитая задача Тейлора о возникновении конвективных ячеек для течения между двумя вращающимися цилиндрами. В данной монографии построено много других примеров неединственности.

Особый интерес в стационарной гидродинамике представляет предельный переход Это связано с тем, что наиболее распространенные жидкости — вода и воздух — имеют весьма малые значения кинематической вязкости по сравнению с характерными величинами где линейный масштаб течения. Асимптотическую постановку этой проблемы дала теория пограничного слоя Пралдт-ля и ее современное расширение — теория сращиваемых асимптотических разложений [4, 20]. Однако классическая, схема Прантдля не всегда применима. В данной монографии будут продемонстрированы различные возможности, реализующиеся в предельном переходе устремление к невязкому пределу, б) стремление к другому пределу, в) отсутствие предела. Разрешимость начально-краевых нестационарных задач доказана для всех моментов времени лишь в случае двух пространственных измерений [84]. В общем трехмерном случае разрешимость доказана для гладких начальных данных на малом интервале времени.

Вопрос об однозначной разрешимости трехмерной задачи в «целом» для любого времени, любых гладких данных задачи и любых размеров области течения до сих пор остается открытым. Известно «слабое» решение Хопфа, однако, как показано в [84], класс «слабых» решений недопустимо широк, так как в нем нарушается единственность течения, что несовместимо с принципом детерминизма в классической механике. Если допустить существование «хорошего» решения в целом, то доказывается и его единственность. Так же доказывается непрерывная зависимость нестационарных решений от начальных данных и внешних сил, но только для конечных интервалов времени. Впрочем, в классе двумерных задач с пулевыми граничными условиями это доказано для произвольного интервала, грубо говоря, в такой формулировке: если условия нулевые, а силы убывают, то и движение жидкости затухает. Для задач с неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом от начальных данных, вообще говоря, нет, ибо как известно, при больших числах Рейнольдса стационарные течения могут терять устойчивость. Это, относится, например, к течению Пуазейля в плоском канале.

Вопросом устойчивости течений вязкой жидкости являются обширным предметом самостоятельного изучения. Число работ в этой

области поистине безгранично. Укажем лишь специальные монографии [11, 44, 53, 89, 100]. Такое внимание к проблемам гидродинамической устойчивости обусловлено тем, что, по-видимому, не существует реальных течепий, отличающихся от поступательного движения и твердотельного вращения, которые сохраняли бы устойчивость при всех числах Рейнольдса, т. е. не происходило бы турбулизации под влиянием достаточно сильных возмущений.

Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что она применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспериментальными подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически, когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений параметров положительной меры.

Теория турбулентности, которая должна была бы составить раздел теоретической гидромеханики вязкой жидкости, все еще ожидает своего замкнутого построения, хотя этой проблеме посвящено невероятное число работ, в том числе весьма высокого уровня, например [100]. В последние годы прогресс в области турбулентности связывают с экспериментальным [23] и теоретическим изучением [126] структур.

2.2. Классификация парадоксов

Не претендуя на окончательное решение вопроса, можно предложить следующую схему классификации гидродинамических парадоксов (рис. 1) [40]. Все парадоксы разделяются на два обширных класса: эффекты — необычные, парадоксальные физические явления, наблюдаемые в эксперименте, и парадоксы моделирования, возникающие в теоретическом описании физического явления. Первые могли бы составить предмет специальной монографии. Здесь им посвящен лишь § 5, где изложены некоторые эффекты, встречавшиеся в эксперилшнтальных исследованиях авторов. Вторые связаны с особенностями принятой теоретической модели и с постановкой соответствующей математической задачи. Они подразделяются на две группы: парадоксы физической модели и парадоксы Математической модели.

Парадоксы физической модели отражают неадекватность модели физической реальности, они выявляют неточность принятых допущений. Некоторые из приближенных моделей входят в фундамент современной гидродинамики, хотя и обнаруживают парадоксы.

Рис. 1. (см. скан)

Таковы модель идеальной жидкости, модель стоксовой жидкости и модель пограничного слоя. Наиболее знаменитыми парадоксами этого вида являются упомянутый во введении парадокс Эйлера — Даламбера и парадокс Стокса, рассматриваемый ниже. В рамках этой группы, в свою очередь, можно выделить следующие семейства парадоксов: парадоксы неполноты теоретического описания, парадоксы симметрии и парадоксы скрытых инвариантов.

Парадоксы неполноты описания относятся не только к тем случаям, когда модель не описывает существенных характеристик течения реальной жидкости (например, отсутствие силы сопротивления при безотрывном обтекании тел идеальной жидкостью), по и к ситуациям, когда, казалось бы, в условиях физически «разумной постановки» не хватает данных для определения всех параметров решения. Такого рода неоднозначности возникают в теории закрученных и неавтомодельных струй. Выход из положения заключается в указании нетривиальных скрытых инвариантов, полностью определяющих главные члены асимптотики течения. Явления подобного типа можно охарактеризовать как парадоксы скрытых инвариантов.

Парадоксы симметрии связаны с нарушением непрерывной зависимости решения от данных задачи. Ввиду их большой принципиальной значимости поговорим о них подробнее в разд. 3. Парадоксы математической модели связаны в основном с некорректной

математической постановкой задачи и обусловлены нарушением условий 1)-3), сформулированных в начале данного раздела. В этой группе следует особо выделить следующие семейства парадоксов: неопределенности, переопределенности, особых точек, автомодельности, а также асимптотических парадоксов, связанных с предельными переходами. Парадоксы педоопределенности связаны с возникновением неединственности решений. Для получения однозначного ответа здесь необходима дополнительная информация, например, в виде указания предыстории процесса.

Парадоксы переопределенности связаны с несуществованием решения. Ясно, что нетрудно построить примеры задач с «лишними» условиями, которые приводят к неразрешимости. Более тонким представляется явление потери существования решения, когда параметры задачи, например число Рейнольдса, переходят некоторые границы. Причины такого поведения могут быть различными, по всегда связаны с отходом от «классической» постановки задачи.

Так, парадоксы особых точек связаны с отказом от условия ограниченности скорости жидкости. Само существование особых точек гидродинамического поля представляется парадоксальным. Ясно, что в окрестности такой точки исходная модель должна терять силу и заменяться другой уточненной моделью, например, учитывающей сжимаемость. Однако, казалось бы, такое реалистичное свойство, как вязкость, должно само по себе исключить особые точки с их бесконечными градиентами скорости. Тем не менее этого почему-то не происходит. Поэтому приходится интерпретировать особые точки в смысле модели течения вдали от реальных объектов. А так как при этом реальные граничные условия заменяются требованием, чтобы рассматриваемая особенность допускалась уравпениями гидродинамики, то и возникают задачи с нестандартной постановкой, когда возможны нарушения корректности.

Очень часто с особыми точками связаны автомодельные постановки задач, в которых сокращается число независимых переменных путем их группирования в определенные комбинации. Регуляризация задачи при помощи введения некоторых фиктивных границ, например, окружающих особые точки, требует постановки на этих границах нестандартных условий, совместимых с предписанной автомодельностью, но способных породить некорректность задачи.

Асимптотические парадоксы будем условно классифицировать то величине вязкости — парадоксы большой вязкости, парадоксы средней вязкости и парадоксы малой вязкости. Парадоксы большой вязкости относятся к необычным явлениям в модели ползущих течений. Парадоксы средней вязкости возникают как нетривиальные следствия противоборства сил диффузии и инерции. Наконец, парадоксы малой вязкости касаются обстоятельств предельного перехода и имеют большое число различных аспектов, чему посвящены многие страницы этой книги.

Приведенная классификация парадоксов имеет, разумеется, условный характер. Очень часто необычные гидродинамические явления связаны не с одним, а с целым букетом парадоксов. Так обсуждаемый в § 3 знаменитый парадокс Стокса может быть интерпретирован и как парадокс неточности теоретического описания, и как парадокс бесконечности, и как парадокс большой вязкости, и даже как парадокс средней вязкости. Рассматриваемая в этой книге задача о пористом вращающемся диске на воздушной подушке также являет комплекс парадоксальных свойств. Тем не менее, на наш взгляд, классификация парадоксов полезна, так как помогает взглянуть на предмет с более общей позиции, понять корни парадоксов и, следовательно, глубже вникнуть в их смысл.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление