Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Взаимодействие распределенного источника жидкости с плоскостью

Будем считать плоскость твердой стенкой, т. е. на пей выполняются условия прилипания.

Как уже упоминалось, в результате эффекта эжекции для внешнего течения можно сформулировать задачу, когда на оси струи размещен линейный сток жидкости. Тем самым естественно возникает класс задач с источниками движения, расположенными на оси. В этом случае также формируются течения струйного типа с весьма петривальпыми свойствами.

Задача о течении вязкой жидкости, вызванном линейным не точником (стоком) в присутствии поперечной стенки, представляет интерес в нескольких аспектах. Во-первых, она служит полезной моделью для изучения свойств практически важных, более сложных течений. В случае струи, бьющей из отверстия в стенке, задача о стоке моделирует внешнее течение, порожденное эжекдией струи [233, 234]. Задача об источнике служит простейшей автомодельной схемой входного участка течения в каналах и позволяет выяснить причины появления немонотонности в профиле скорости [145]. В случае конического источника эта задача — простейшая одномерная иллюстрация явления оттеснения потока от поверхности посредством вдува [82]. Во-вторых, этот простой пример весьма содержателен в познавательном отношении, поскольку позволяет вскрыть новые нетривиальные свойства динамики вязкой жидкости. проявляются в принципиальном отличии как по постановке, так и по результатам случаев отсоса и вдува.

Такой физический парадокс связан с необычными математическими свойствами. Последние создавали определенный технический и психологический барьер, который затруднял адекватное решение задачи о взаимодействии линейного источника с поперечной плоскостью. Эта задача первоначально была рассмотрена в постановке, когда продольная компонента скорости на линии источников принималась равной нулю [145]. Но, оказывается, в случае стока ограниченных решений при этом не существует. Затем (по-видимому, совершенно независимо) была сформулирована постановка, когда.

требовалась лишь ограниченность продольной скорости на оси симметрии [31]. По этого недостаточно для выделения локально единственного решения в случае вдува. Об этом в определенной степени свидетельствуют расчеты [14], но неудачный выбор координат и численного метода не позволил решить задачу до конца.

Далее будет показано, что задача требует различной постановки для случаев отсоса и вдува. При вдуве существуют и имеют физический смысл ограниченные, но не аналитические решения. Можно сказать, что эта ситуация не подпадает под действие принципа минимальной особенности: [20]. Но она вполне согласуется с теорией вихревого движения идеальной жидкости.

Итак, рассмотрим осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости около линейного источника или стока заданной обильности (расход на единицу длины оси) в присутствии неподвижной ортогональной плоскости. Основной результат, полученный в работе [31] численными методами, по утверждению авторов, аналогичен парадоксу с вихревой нитыо [32]. Задача разрешима лишь в определенном диапазоне чисел Рейнольдса а именно — причем в области положительных чисел Рейнольдса (т. е. в случае источника) имеются два топологически различных режима. Математически задача сводится к уравнению (12), но в силу условий прилипания на плоскости константа и уравнение можно переписать в виде

На оси задается обильность источника и требуется ограниченность Тогда, полагая в получим

Дифференцирование уравнения (22) дает

При следует положить иначе будет выполнено требование ограниченности С учетом этого находим

Полученные соотношения для констант, казалось бы, позволяют выделить локально единственное решение уравнения (22), удовлетворяющее всем граничным условиям. При этом использование (23) позволяет осуществить числепное интегрирование непосредственно от точки например, методом Руиге — Кутта.

В работе [14] интегрирование проводилось от значения величина у (0.99) определялась на основе разложения в ряд Тейлора. Естественно, таким путем находится аналитическое решение. Параметр С должен быть подобран так, чтобы удовлетворить одному из условии на конце пути интегрирования, например Тогда второе условие выполнится автоматически в силу уравнения (22), и решение задачи тем самым будет построено.

Однако дело осложняется тем, что, поскольку на плоскости точка особая, через нее может проходить не одна, а целый пучок траекторий, имеющих ограниченную производную, удовлетворяющую соотношению (23). Требование аналитичности решения выделяет, вообще говоря, единственную траекторию, по в данном случае требуется лишь ограниченность производной. Этому условию могут удовлетворять не только аналитические, но и особые решения, если особенность проявляется лишь в более высоких производных. Покажем, что в рассматриваемой задаче реализуется именно такая ситуация.

Сделаем замену переменных: По построению вблизи оси остается немалой величиной. После подстановки в уравнение (22), сохраняя лишь линейные по члены, иолучим где Требуется построить решение, удовлетворяющее условию и имеющее ограниченную производную Дифференцируя уравнение, находим к). С другой стороны, общее решение имеет вид Условия выполняются для всех при произвольных значениях А, поэтому поставленными требованиями решение однозначно не определено. Более сильное условие — аналитичность решения — произвол устраняет (для всех к, кроме целых), поскольку в этом случае должно быть

При отсосе следовательно, Тогда условие ограниченности дает А— 0. Однако при вдуве и производная ограничена при любых значениях При этом в диапазоне особенность при имеет При величина становится ограниченной, а сингулярность перемещается последовательно на все более высокие производные

То, что в задаче остается произвольный параметр А, означает, что в случае вдува недостаточно поставить условие ограниченности Для определенности решения нужно, например, задать саму величину или, что то же самое, продольную скорость на оси симметрии. В случае отсоса условия ограниченности достаточно, а величина продольной скорости вырабатывается автоматически. В этой ситуации для значений выражение (23) следует трактовать как условие для определения постоянной С по заданным значениям и При этом получаем разрешимость поставленной задачи при всех

Пусть, например, тогда а уравнение (22) принимает вид

Любая интегральная кривая этого уравнения, в том числе выпущенная из начала координат на плоскости т. е.

Рис. 34.

удовлетворяющая условиям прилипания, проходит через точку и при этом При имеем асимптотическое представление решения

которое, удовлетворяя условию имеет неограниченную производную т. е. возникает необычный пограничный слой: условие прилипапия стирается, при сохранении условия непроницаемости скорость на стенке обращается в бесконечность. Численные расчеты показали, что решение уравнения (24) действительно стремится к (25) с ростом Кроме того, была воспроизведена построенная Голубинским и Сычевым [31] кривая аналитичности (рис. 34,7). Линией 4 показана зависимость соответствующая решениям задачи с Решения задачи с ограниченной величиной отвечают каждой точке в полуплоскости в то время как при ограниченность достигается только на кривой существования аналитического решения.

При малых числах Рейнольдса можно убедиться в существовании решения, отличного от решения Голубинского и Сычева, не прибегая к численному анализу. Полагая получим и уравнение (22) примет вид

Используя подстановку приходим к уравнению для и:

Если то и поэтому можно пренебречь квадратичным членом Линеаризованное уравнение имеет при решение удовлетворяющее всем граничным условиям и имеющее в случае ограниченную производную при Если это решение непригодно из-за неограниченности производной. В общем случае, когда решение линеаризованного уравнения выписывается в квадратурах

При вблизи справедливо представление и решение с ограниченной существует при всех значениях При функция ограничена в интервале [0, 1]. Однако для того чтобы и имела ограниченную производную, необходимо потребовать, чтобы Из этого условия однозначно определяется величина

Случаи особый, он сводится к задаче, рассмотренной в разд. 2.4, если величина в конечна. На оси производная имеет логарифмическую особенность, кроме случая уравнение (17) и ниже). В силу этого кривая 1 (см. рис. 34) асимптотически следует зависимости При движении вдоль кривой 1 в сторону увеличения С вблизи оси возникает пограничный слой с внутренним решением (16), поскольку условие при переходит в и с внешним решением совпадающим с решением Шнайдера. Толщина вытеснения для радиальной компоненты скорости стремится к нулю при Величина продольной скорости на оси асимптотически растет согласно формуле поэтому уменьшение расхода отнюдь не означает уменьшение интенсивности движения.

Таким образом, постановка задачи различается принципиально для отсоса и вдува. При отсосе условие ограниченности продольной компоненты скорости однозначно определяет ее величину, а при вдуве значение продольной скорости на оси может быть задано по произволу. Но, возможно, существующие в случае вдува ограниченные, но не аналитические решения следует отбросить, исходя из физических соображений? В некоторых случаях, когда постановка не обеспечивает единственности решения, пользуются так называемым принципом минимальной особенности [20]. Примерами его весьма успешных реализаций являются постулат Жуковского — Чаплыгина", ирипцип Бриллюена — Билля, находит широкое применение в технике сращивания асимптотических разложений. Часто этот прпнцип интерпретируют как внешнее следствие скрытых предельных переходов. Например, в моделях идеальной жидкости таким скрытым переходом может быть устремление вязкости к нулю. Проверка корректности применения принципа в этих условиях может состоять в том, что скрытый переход заменяется реальным.

В рассматриваемой задаче идеализацией является задание источников на оси. Поэтому рассмотрим более «реальную») постановку, когда жидкость вытекает из конуса с конечным полууглом раствора а затем исследуем, что происходит, когда

Итак, область течения заключена между конусом и плоскостью, проходящей через вершину перпендикулярно его оси. Если на каждой из границ скорость задана в согласии с (1), то существует решение из конически симметричного класса. Задача при условии

прилипания на плоскости сводится к уравнению (22) с краевыми условиями Условие будет выполнено автоматически. Полагая в уравнении получаем соотношение

Решая задачу Коши для уравнения (22) с начальным условием распорядимся величиной параметра С так, чтобы Тогда в силу (26) условие будет выполнено автоматически. Таким образом, имеется двухиараметрический класс решений, определенный параметрами или согласно В силу того, что при жидкость растекается от оси во всей области течения, а при около стенки существует зона возвратного движения, в которой жидкость течет около плоскости к началу координат. С ростом С эта зона расширяется и в пределе охватывает всю область течения. Вблизи конуса формируется сильная струя, которая, несмотря на наличие источников на поверхности конуса, служит стоком для внешнего течения.

Если на конусе поставить условие прилипания, т. е. равенства нулю продольной компоненты скорости то получим однопараметрическое семейство решений. Результаты расчета такого семейства для представлены на рис. 34 кривыми 2 и. 3. Как видим, если то пределом при является аналитическое решение Голубинского и Сычева, а если в пределе получаем пеаналитическое решение, отвечающее линии 4. В обоих случаях предельный переход является неравномерным. При граничное условие в пределе «стирается», и производная на оси прииимает конечные значения, равные соответствующим величинам на кривой 1. При по сходимость равномерна, но при

Следовательно, можно заключить, что принцип минимальной особенности работает в случае отсоса, но не работает в случае вдува. Спрашивается, существуют ли такие граничные условия на конусе, при которых в пределе получится аналитическое решение и при отсосе, и при вдуве? Проведенный численный эксперимент показал, что ответ на этот вопрос положителен. Если на конусе потребовать равенства нулю касательных напряжений, другими словами, положить то получим другое однопараметрическое семейство решений и связанное с ним семейство функций Результаты расчетов при представлены на рис. 34 кривыми 5 и 6. В пределе получаем при всех значениях С аналитическое решение Голубинского и Сычева. Предельный переход и тут неравномерный, но уже, начиная со второй производной, как для вдува, так и для отсоса. В пределе условие

скольжения стирается и на оси принимает конечные значения.

Эти результаты допускают неоднозначную физическую интерпретацию. Во-первых, обобщая постановку Голубинского — Сычева, можно считать, что на конусе задана скорость вдува и именно по ней определяется число Рейнольдса, а касательная компонента скорости подбирается такой, чтобы отсутствовало трение. В рамках данной интерпретации решение задачи существует лишь при числах Рейнольдса вдува, не превышающих некоторый предел причем в области решений два. На рис. 34 прямая пересекает зависимость в двух точках; одна из них (при большем значении С) соответствует двухъячеистому режиму, а другая — двух- или одноячеистому режиму в зависимости от знака С. При эти решения, как и в задаче [31], смыкаются в области двухъячеистых режимов. Это классическая бифуркация рождения — уничтожения пары стационарных решений [3]. Согласно теории, устойчивым может быть лишь одно из возникающих решений. Анализ устойчивости достаточно сложен, но наиболее вероятным кандидатом в устойчивые являются решения, отвечающие нижней ветви и переходящие в медленные течения при На верхней ветви с уменьшением С касательная компонента возрастает до бесконечности, что свидетельствует о физической неестественности такой постановки.

Во-вторых, задачу можно формулировать совсем по-иному, считая заданной касательную скорость на конусе, а нормальную подбирать из условия отсутствия трения. Такая постановка близка к известной проблеме оттеснения потока от поверхности за счет вдува [82]. В этой интерпретации кривая на рис. 34 определяет критическую скорость вдува, решение существует при всех значениях величины С, которая наряду с может служить новым числом Рейнольдса, и никаких бифуркаций и потери устойчивости не происходит. Этот пример показывает, к каким радикальным изменениям математических свойств приводит, казалось бы, небольшое изменение физической постановки задачи. То, что с ростом касательной скорости критическая скорость вдува стремится к пулю, объясняется тем, что имеется диффузорное течение с неблагоприятным градиентом давления. Результаты свидетельствуют о том, что максимальная критическая скорость вдува возрастает вместе с углом раствора конуса, например, при та 7,3.

Еще один удивительный феномен в задаче о взаимодействии линейного источника с плоскостью — это парадоксальный торцевой эффект. В отсутствие плоскости линейный псточпик вызывает чисто расходящееся плоское течение Казалось бы, наличие плоскости должно приводить к тому, что в пограничном слое у стенки жидкость тормозится, а скорость монотонно убывает до нуля. Более того, поскольку скорость вниз по течению падает, можно было ожидать отрыва. В действительности происходит прямо противоположное явление. Около плоскости при больших числах

Рейнольдса формируется сильпая струя. Другими словами, присутствие стенки приводит к ускорению внешнего потока.

Рассмотрим этот эффект подробней, для чего обратимся к уравнению (24), описывающему ситуацию, когда на оси симметрии После двукратного дифференцирования и подстановки получим Тогда в силу уравнения

Следовательно, давление на стенке распределено в соответствии с формулой в то время как вдали от плоскости в силу потенциального характера движения Сопоставление этих зависимостей показывает, что, во-первых, давление в перпендикулярном к степке направлении существенно меняется, причем разница между давлением на стенке и вдали от нее не зависит от величины вязкости. Во-вторых, если вдали от стенки давление вниз но течению растет в соответствии с теоремой Бернулли, то вдоль стенки давление с удалением от начала координат падает. Здесь опять проявляется кардинальное отличие распределения давления для замедляющихся потенциальных и ползущих течений, нетривиальное следствие которого уже отмечалось в задаче о диффузоре (см. § 1).

Начало координат является сложной особой точкой для поля давления — на оси симметрии давление обращается в минус бесконечность, а с приближением к началу координат вдоль стенки растет до плюс бесконечности. Наличие на стенке благоприятного градиента давления предотвращает отрыв. Производимая в силу условий прилипания завихренность накапливается у стенки и ускоряет внешнее течение. В результате развивается пристенная струя. Изучим ее структуру подробнее.

В силу асимптотического соотношения (25) продольная скорость во внешнем течении с приближением к стенке растет по закону С другой стороны, из уравнения (24) следует, что Поэтому в силу условий прилипания вблизи стенки Эти две зависимости пересекаются в точке где продольная скорость достигает максимальной величины После этих наводящих оценок выведем уравнение пристенного пограничного слоя. Определив новые переменные подставив эти выражения в уравнение (24), поделив все члены на и устремив получим

Подстановка дает Решение этой задачи Коши выражается через функцию Эйри [49]:

Непосредственно из (27) следует, что при

и при Это, казалось бы, противоречит тому, что вне пограничного слоя Однако поскольку то вне пограничного слоя имеет порядок и, значит, в первом приближении при равна нулю.

Зависимость приведена на рис. 35, где для сравнения нанесены также (штрихпунктирная линия) и решение (24) при (штриховая). Величина достигает максимального значения 1,03 при Следовательно, горизонтальная скорость достигает максимума на луче На рис. 35 показано также распределение давления в пристенной области при В пределе с учетом асимптотического выражения (25) получим, что вдали от стенки Поскольку на поверхности конуса давление совпадает со своим значением вдали от источника, внутри конуса существует разрежение, а вне Максимальное значение давления достигается на самой стенке, а в ее окрестности но относительная разница между максимальной величиной и давлением на стенке стремится к нулю как

Ситуация радикально отличается от случая стока, где при больших числах Рейнольдса развивается классический пограничный слой. Действительно, уравнение (22) можно переписать в виде

Выясним асимптотическую зависимость при Предположим, что при величина как это подсказывает рис. 34. Тогда, пренебрегая левой частью и последним членом в уравнении (28), получим

Во избежание противоречия необходимо, чтобы Вблизи стенки подкоренное выражение становится отрицательным, что говорит о необходимости пристенного пограничного слоя. Поскольку положим и сопряжем зависимости в некоторой точке

В результате получим После замен получим из уравнения (28) при Величина определяется из условия Результаты расчета приведены на рис. 36,2. Величина стремится к своему предельному значению сравнительно медленно Значение близко к единице, В ядре течения согласно

Вертикальная скорость вдали от стенки определяется зависимостью

Рис. 35.

Рис. 36.

Таким образом, и в случае стока жидкость подтекает к плоскости, но это не вызывает образования пристенной струи. Из уравнения (28) следует откуда

Следовательно, при давление в перпендикулярном к стенке направлении постоянно в соответствии с классической теорией пограничного слоя. При конечных на стенке давление меньше, чем вдали от нее. Можно сказать, что стенка подсасывает жидкость.

До сих пор исследовался торцевой эффект для случая, являющегося предельным к задаче с конечным конусом, на границе которого касательная скорость равна нулю. Но при вдуве, как было показано, касательная скорость может быть задана на оси по произволу. Поскольку условие еще не означает, что продольная скорость на оси равпа пулю.

Рассмотрим, следуя [14], задачу, когда Тогда согласно (23), Уравнение (22) принимает вид

При вдали от стенки откуда т.е. горизонтальная скорость соответствует потенциальному источнику, а наличие вертикальной скорости вызвано вязким взаимодействием со стенкой.

Вблизи плоскости развивается пограничный слой, описываемый уравнением при где Его решение соответствует рис. 36,2. Штриховой линией показана асимптота приближением к стенке горизонтальная скорость сначала возрастает, достигая при максимального значения, в 1,45 раза превосходящего значение на бесконечности, а затем убывает до нуля. Поскольку трение на стенке равно нулю и течение находится на грани отрыва. Но

поэтому при конечных значениях числа Рейнольдса отрыва не происходит. Распределение давление на стенке в силу что совпадает с распределением вдали от поверхности. Описанный торцевой эффект согласуется с наблюдаемой немонотонностью профиля скорости в диффузорных переходных участках между трубами разного сечения [127].

В случае безграничной области Сквайр [119] получил класс решений с распределенными по всей оси источниками массы, который он интерпретировал как радиальные струи, т. е. струи распространяющиеся от начала координат вдоль определенной конической поверхности. Решение в этом случае имеет вид

и содержит два параметра, один из которых характеризует угол раствора конуса вдоль которого бьет струя, а второй (6) определяет интенсивность струи. Решение существует при всех значениях — и

В работе [222] приведено решение задачи о течении в безграничном пространстве, вызванном источниками жидкости, равномерно распределенными на полуоси. Пусть, например, Задача сводится к интегрированию уравнения (13) и описывается решением из класса Яцеева:

Если то из требования ограниченности при следует что соответствует решению указанному в [222]. Однако в случае вдува, когда константа А остается свободным параметром. За исключением случая решение ыеаналитично, но имеет ограниченную производную не зависящую от величины А и, следовательно, такую же, как и при аналитическом решении, когда При указанное решение переходит в решение Ландау для точечного источника импульса. В общем случае, когда течение порождается источником импульса в начале координат и распределенным на полуоси источником массы. Решение существует в диапазоне — где При А, близких к вблизи полуоси возникает сильная восходящая струя, а при полуоси формируется сток: При течение становится двухъячеистым. Жидкость вдоль обеих полуосей подтекает к началу координат и растекается на бесконечность вдоль определенной конической поверхности. При область восходящих движений все более локализуется около отрицательной полуоси и в пределе на месте исходного источника формируется сток . Поскольку параметр А характеризует интенсивность струи,

бьющей из начала координат. При скорость на полуоси возрастает, т. е. струя бьет вверх, а при соответственно вниз.

Принципиальная разница между случаями отсоса и вдува, выявленная для линейного источника, сохраняется и для конуса конечного угла раствора. Теперь это различие проявляется при предельном переходе При вдуве предельный переход равномерен для вектора скорости на конусе — и касательная, и нормальная компоненты сохраняются. При отсосе, напротив, переход неравномерен, одно из условий «стирается» — касательная компонента скорости в пределе принимает вполне определенное значение, вообще говоря, не совпадающее с допредельной величиной. Это находится в полном согласии с различной постановкой краевых условий на участках втекания и вытекания в теории идеальной жидкости и, более того, может служить обоснованием таких постановок.

Известно, что решения уравнений Эйлера обладают свойством обратимости. Смена направления скорости на противоположное (вообще говоря, и знака времени, но здесь рассматриваются стационарные течения) не выводит нас из класса решений. Однако граничные условия в случае вихревых течений уже не обладают такой симметрией. Для однозначной разрешимости обычно на участках втекания требуется дополнительно к нормальной компоненте скорости задать завихренность [147] или касательные компоненты скорости [63]. Для обращения движения в такой постановке уже необходимо не только изменить знак скорости, но и переформулировать краевую задачу. С формально математической точки зрения дополнительные граничные условия могут быть поставлены на участках как втекания, так и вытекания. Предпочтение первых основывается на соображениях физического характера и является по сути дополнительным постулатом в рамках теории идеальной жидкости. Приведенный пример показывает, что этот постулат может рассматриваться как следствие предельного перехода в течении вязкой жидкости. Хотя в пределе вязкость равна нулю ее воздействие проявляется в различии краевых условий на участках втекания и вытекания.

В задаче о линейном источнике это различие проявляется и при конечных числах Рейнольдса. Это связано с тем, что локальное число Рейнольдса на оси обращается в бесконечность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление