Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ЗАКРУЧЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

3.1. Разрешение парадокса в задаче о смерче

Вернемся к рассмотренной в гл. 1 задаче о взаимодействии вихревой нити с плоскостью. В этой книге опа играет особую роль. Будучи первым строго доказанным и четко осознанным примером потери существования решения уравнений Иавье — Стокса,

задача о смерче, а также ее истолкование и обобщение неизменно притягивали внимание авторов и послужили одним из побудительных мотивов написания данной книги.

Здесь при помощи специальных предельных переходов будет сделана попытка «проникнуть» в закритическую область. Напомним, что при заданном значении циркуляции на оси и условии прилипания на плоскости решение перестает существовать, когда число Рейнольдса превышает критическое значение Далее будет изучена структура решений в окрестности затем рассмотрена задача, когда циркуляция задана на конусе с конечным углом раствора. Для нулевого угла раствора задача сводится к уравнениям

В главе 1 показано, что при циркуляция стремится к нулю всюду, кроме самой оси. Тогда непосредственно из (3) следует, что при функция при Поэтому для главного члена внешнего разложения по в правой части (2) величиной можно пренебречь, и уравнение (2) сводится к (2.17) с переобозначением Отсюда следует связь между критическим числом Рейнольдса и значением константы . Таким образом, внешнее разложение сводится к меридиональному течению, вызванному стоком на оси, и совпадает с решением Шнайдера которое в данном случае является приближением заведомо существующего автомодельного течения, а не автомодельной аппроксимацией неавтомодельиой струи.

Что касается внутреннего разложения, то, как показано в гл. 1, правая часть (2) имеет при нуль выше первого порядка, поэтому и здесь при получении главных членов уравнение для меридионального движения отщепляется. Главный член оказывается решением (2.16) (струя Шлихтинга). Для получения погранслойного решения для циркуляции удобно использовать малый параметр и переменную Тогда из следует или с учетом граничных условий

Это решение было получено Зубцовым [61]. Поскольку внешнее

Рис. 37.

Рис. 38.

разложение для циркуляции тривиально то внутреннее можно продолжить вплоть до стенки удовлетворяя уточненному граничному условию Тогда

Малый параметр обращается в нуль вместе с величиной Действительно, при полюс функции проходит точку поэтому при малых положение полюса приближенно определяется зависимостью откуда

На рис. 37,38 приведены результаты интегрирования уравнений при близком к критическому значению, и таком, что Дано сравнение численных результатов с аналитическими (штриховые линии). На рис. 37, кривая 1 соответствует решению Шлихтинга, 2 — решению Шнайдера а аналитическое решение 3 построено в соответствии с методом сращиваемых асимптотических разложений Циркуляция с удалением от оси убывает слабее, чем в погранслойном приближении (4). Это связано с различием между вдали от оси.

Характеристикой интенсивности вращательного движения вблизи плоскости может служить величина а Зависимость (рис. 39,1) немонотонна. С увеличением циркуляции вихревой нити вращение вблизи плоскости сначала усиливается, а затем затухает, обращаясь в нуль при (расчеты свидетельствуют, что производная при конечна и приблизительно равна ). Отмеченная немонотонность связана с конкуренцией двух механизмов переноса завихренности — вязкой диффузией и конвекцией. При малых диффузия преобладает и поэтому увеличение циркуляции на оси приводит к возрастанию циркуляции во всей области течения. С увеличением усиливаются подтекание жидкости к оси и связанный с этим обратный перенос

завихренности за счет конвекции. При значениях близких к конвективный механизм превалирует, циркуляция концентрируется вблизи оси, а вдали от оси падает. Наконец, при происходит катастрофа: несмотря на наличие циркуляции на оси жидкость вне оси не вращается. Таким образом, имеет место «коллапс» циркуляции, но это не относится к полю давления, порожденному вихревой нитью. Разрежение на оси вызывает сток, взаимодействие которого с плоскостью формирует предельно сильную струю.

Парадоксальная ситуация, когда при конечном числе Рейнольдса перестает существовать решение уравнений Навье — Стокса, реализуется при наличии особенности на оси в виде вихревой нити. С другой стороны, если ось не прпадлежит области течения, то кризис невозможен. Возникает интригующий вопрос, к чему будет стремиться течение при закритических числах Рейнольдса, если поставить задачу для конуса конечного угла раствора при соответствующих граничных условиях, а затем устремить этот угол к нулю? Задача сводится к решению системы уравнений (2.3), (2.6), (2,9) с граничными условиями прилипания на плоскости На конусе ставится условие непротекания и задается циркуляция Еще одно краевое условие было поставлено в двух вариантах: прилипание и скольжение

При численных расчетах интегрирование проводилось от стенки к оси, причем для функции ставились условия Тогда в силу (2.9) и условий прилипания на стенке Для интегрирования необходимо также задаться значениями Два из этих трех параметров должны быть подобраны так, чтобы выполнить два условия на конусе. Одно из них — условие а второе в случае прилипания в силу (2.9) имеет вид а в случае скольжения в силу (2.8) — вид

Оставшийся параметр служит мерой интенсивности движения, выполняя роль, обычно присущую числу Рейнольдса. Число Рейнольдса при этом находится после решения задачи Удобно свободным оставить такой параметр, зависимость которого от монотонна. Как ясно из рис. 39, параметр а не является в этом смысле подходящим. Годится любой из параметров

Выбор пал на параметр который отражает величину трения на плоскости: На рис. 39, 40 кривые 2, 3 соответствуют результатам расчетов с условиями прилипания на конусе и то же, при условии скольжения, кривые Расчеты, во-первых, свидетельствуют о том, что если угол раствора конуса конечен, то решение существует при всех числах Рейнольдса, независимо от того, ставится ли на конусе условие прилипания или условие скольжения. (Напомним, что в задаче о линейном источнике различие в граничных условиях

Рис. 39.

Рис. 40.

приводило к принципиальному различию в результатах.) Во-вторых, и в случае конуса конкуренция диффузионного и конвективного переноса завихренности приводит к тому, что интенсивность вращательного движения вблизи плоскости зависит от величины циркуляции на конусе немонотонно. До определенного числа Рейнольдса вращение усиливается, а при дальнейшем увеличении падает. Однако в отличие от случая вихревой нити вращение не исчезает при конечном числе Рейнольдса, а асимптотически стремится к нулю при увеличении числа Рейнольдса до бесконечности.

Если фиксировать число Рейнольдса и уменьшить угол раствора конуса, то при в пределе получится решение, отвечающее вихревой нити. В силу (2) для вихревой нити (см. рис. 40,1). Когда при имеем а Вне пограничного слоя вращательное движение исчезает, а меридиональное течение становится независящим от числа Рейнольдса, т. е. таким же, как при Как видно из рис. обозначения те же, что и на рис. 40), при закритических числах Рейнольдса стремится к немонотонно. Установление предельного решения при происходит довольно медленно. Это касается и циркуляции (рис. Имея в виду результаты этого предельного перехода, можно считать, что решение задачи о вихревой нити продолжимо в область и для этого следует положить Однако граничное условие «стирается» и заменяется условием На вихревой нити, таким образом, формируется сток, обильность которого не зависит от величины циркуляции и равна

Рассмотрим, как полученные результаты соотносятся с принципом минимальной особенности и с классом решений, полученных Серрином [236]. Серрин, как уже указывалось, обобщил задачу о вихревой нити, допустив логифмическую особенность у на оси.

Рис. 41.

Рис. 42.

В этом случае решение существует при всех но появляется новый параметр — коэффициент при логарифме. Можно было бы ожидать, что при стремлении угла раствора конуса к нулю в пределе получится решение из класса Серрина, причем коэффициент при логарифме определится в процессе предельного перехода. Но происходит иное — в результате неравномерности предельного перехода стирается граничное условие но предельная функция имеет ограниченную производную. Это можно интерпретировать так, что «сработал» принцип минимальной особенности в отношении функции Однако в силу соотношений (1) для поля скорости наличие стока на оси означает особенность для компоненты более сильную, чем логарифмическая осббеииость по характерная для класса Серрина.

Как было показано, наличие логарифмической особенности означает, что на оси приложена сила где при В отличие от задачи от вихревой нити в классе решений Серрина существуют двухъячеистые режимы с опускным движением на оси (см. гл. 1, рис. 12). Из сказанного следует, что за «размыкание» струи и возникновение обратного движения здесь ответственна не циркуляция (как в закрученных струях), а именно дополнительно приложенная сила, действующая вдоль оси вниз. Для одпоячеистого восходящего режима Серрина сила действует вверх. Случай вихревой нити, разделяющий эти режимы, отвечает пулевой силе.

Применительно к моделированию геофизических явлений, таких как смерчи и тайфуны, осевые источники можно рассматривать как идеализацию узкой приосевой зоны — ядра смерча, где вращательное движение близко к твердотельному. Силу в модели Серрина можно интерпретировать как силу тяжести или плавучести, действующую на это ядро. Если вещество ядра тяжелее окружающей среды, например состоит из более холодного воздуха или

водяной струи, бьющей из облака, то это соответствует в модели Серрина осевой силе, направленной вниз. На фотографии, где запечатлен такой водяной смерч, отчетливо видна двухъячеистая структура [236]. Если же ядро служит как бы вытяжной трубой для приповерхностного прогретого слоя воздуха, то осевая сила, действующая вверх, моделирует архимедову силу. Соответствующие этой ситуации торнадо одпоячеистые.

Физическая интерпретация разрешения парадокса в случае вихревой нити представляется следующей. Если вращать перпендикулярно плоскости тонкую иглу, то на расстояниях, больших по сравнению с радиусом иглы движение будет происходить согласно автомодельному решению. С увеличением скорости вращения иглы выше величины, соответствующей критическому числу Рейнольдса, вращательное и струйное движение жидкости сосредоточится в зоне неавтомодельиости. В автомодельной же области движение перестанет зависеть от скорости вращения иглы и будет таким, как если бы оно порождалось равномерно распределенным вдоль оси стоком обильности Q^.

В задаче о вихревой нити, рассматриваемой как простейшая модель таких атмосферных явлений, как смерчи, меридиональное движение и, в частности приосевая струя, является следствием вращения. В реальных смерчах имеется ядро, где вращательная скорость возрастает от нуля до своего максимального значения. Наличие этого ядра в задаче о вихревой нити игнорируется, она претендует на описание поля скорости лишь вне ядра. Если использовать решение задачи о вихревой нити как начальное поле скорости и рассмотреть эволюцию в рамках нестационарных уравнений Навье — Стокса, производная от скорости по времени будет в начальный момент равна нулю всюду кроме оси, где она будет бесконечно большой. Ситуация здесь такая же, как в задаче о распространении тепла после мгновенного его выделения на оси. Далее формируется вязкое ядро, которое в отличие от задачи о диффузии вихря будет иметь не цилиндрическую, а коническую форму. Последняя связана с эжекционным действием струи, порождаемой взаимодействием вихревой пити с плоскостью. Подтекание жидкости к оси замедляет диффузию, причем максимальной величины этот эффект достигает вблизи плоскости.

Хотя процесс разрушения вихря, естественно, нестационарен, ускорение как функция 8 на начальном этапе заметно отлично от нуля только в малой окрестности оси. Вне этой области поле скорости будет хорошо аппроксимироваться решением для вихревой нити. Мы видим, что вихрь и линейный источник весьма нетривиальным образом взаимодействует с плоскостью. Естественно ожидать, что суперпозиция этих видов движения обладает новыми неожиданными свойствами.

Особенность на оси в виде стока, возникающая при достаточно большой циркуляции, физически связана с эжекцией жидкости

приосевой струей. Еестественио ожидать, что достаточно сильная струя должна турбулизироваться. В этом случае ее эжекционная способность, т. е. эффективная обильность стока на единицу длины оси, не будет фиксированной, как для ламинарного решения Шлихтинга, а растет вместе с импульсом струи. Таким образом, приходим к задаче, когда на оси струи независимо задаются циркуляция и обильность источника.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление