Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Взаимодействие вихреисточника с плоскостью

Ось симметрии считается источником жидкости (с расходом на единицу длины оси и осевого момента импульса. Это соответствует граничным условиям где переобозначение числа Рейнольдса из разд. 3.1. В данном случае эти обозначения удобнее, так как оба безразмерных параметра могут претендовать на роль числа Рейнольдса. На плоскости ставятся условия прилипапия, что замыкает краевую задачу для уравнений (2.3), (2.6), (2.9) в случае вихрестока. В случае вихреисточника, как показано в § 2, необходимо еще задать величину например

Эта задача была ранее рассмотрена в работе Чема [163] для частного случая Чем решал задачу в цилиндрических координатах. Используемый численный алгоритм не позволил получить решение при Одной из возможных причин Чем считал потерю существования решения, как в задаче о смерче. Однако, как будет показано далее, это не так.

Уравнение (2.9) с учетом того, что можно переписать в виде

где определена выражением (3). Заметим, что Действительно поскольку -монотонная функция (см. гл. 1), то остальное следует из (3). Дифференцируя (3), имеем

Поскольку

второй член (6) стремится к нулю при Следовательно,

Полагая в имеем а дифференцируя (5) и требуя ограниченности получаем

Отсюда следует

Тем самым константы явно выражены через параметры задачи. Поскольку особая точка системы уравнений, при численном решении задачи можно интегрировать от оси к стенке, предварительно выяснив характер поведения решения вблизи Как отмечалось в § 2, из уравнения для циркуляции следует

При функция имеет в точке неинтегрируемую особенность, поэтому вне оси Физически это означает, что циркуляция «отсасывается» достаточно сильным стоком на оси и не проникает в жидкость. В интервале — при интегрировании от следует задаться величиной А и положить Аналогично из уравнения следует, что Задаваясь пробными значениями надо проинтегрировать систему до и подобрать и так, чтобы Недостатком такого алгоритма является многомерная пристрелка.

Есть более экономный путь. Система (2.3), (2.6), (2.9) интегрируется от стенки с условиями Один из параметров а должен быть подобран так, чтобы после интегрирования от до выполнить условие (7), где Остальные две константы служат параметрами, определяющими значения

Чтобы проводить расчеты «с открытыми глазами», выясним область несуществования решения. Обозначив правую часть уравнения (5) через и сделав подстановку приходим к линейному уравнению Введя и представив в виде ряда по получим

Разыскивая решение в виде находим Общее решение имеет представление следовательно,

Рис. 43.

где Потеря существования решения связана с прохождением нуля знаменателя в выражении (9) через точку т. е. с обращением в нуль. В докритической ситуации и Поскольку величина при В момент кризиса граничное условие «стирается» Как обычно, главный член внешнего разложения по малому параметру характеризующему близость к кризису. В результате кризиса на оси по-прежнему формируется сток жидкости, но другой обильности: Как и в ранее рассмотренных случаях, в критической ситуации функция испытывает скачок при Но величина его не равна 4, а зависит от значения В частности, при скачок отсутствует.

С приближением к кризису возрастает до бесконечности. Поскольку возможны следующие варианты: а) ограничена, , ограничена, В последнем случае не определена априори, но при задача о вихреисточиике вырождается в задачу о вихре, где и решение существует при

Карта режимов на плоскости изображена на рис. 43. Левее штриховой линии вращение отсутствует. На полуоси ; решение не существует. С приближением к полуоси формируется сильная восходящая струя. Между осью и кривой лежит область существования двухъячеистых режимов. Кривая отвечает случаю, когда на оси Правее кривой область опускных режимов с пристенной струен. Если зафиксировать величину и увеличивать то в пределе картина меридионального течения совпадает с полученной в § 2 при отсутствии вращения. Если, напротив фиксировать величину и устремить к бескон ечности, то получим сильную приосевую струю, вне которой формируется предельное, не зависящее от течение без вращения, соответствующее эффективному стоку на оси обильности

Отрыв происходит, когда меняет знак. Дифференцируя уравнение и полагая получаем откуда в силу (6), (8) находим условие отрыва

Если уравнение для циркуляции имеет решение откуда Этот результат не зависит от значения поскольку величина в уравнении (10) пренебрежимо мала по сравнению с Поскольку члены в уравнении (10), зависящие от циркуляции, можно записать в виде

При уравнение для циркуляции вне пограничных слоев приобретает вид В предотрывной ситуации всюду, кроме малой пристенной области. Введем переменные Уравнение для циркуляции в пределе принимает вид а из уравнения (5) следует где

В случае отрыва При этом, если то Требуя, чтобы коэффициент был порядка единицы, получаем Выбирая приходим к уравнениям пограничного слоя:

Первое уравнение интегрируется независимо, его решение найдено в предыдущем пункте. Назначив например, проинтегрируем уравнение от с условием Функция определяется как после чего вычисляется Расчет дает

Если на оси симметрии то В этом случае из следует В выражении для главным становится член, содержащий Из требования вытекает Таким образом, показатель степени в

асимптотической зависимости «обращается» и становится: равным 3/4. Выбирая приходим к тем же уравнениям пограничного слоя, но коэффициент а теперь определяйся по-другому: .

На рис. 43 кривая соответствует отрыву в случае На границе рисунка обе зависимости уже графически неотличимы от асимптотических Расчеты Чема [163] были выяснены на биссектрисе и возникшие у него трудности при связаны с техникой вычисления и незамеченно отрывом течения.

В области отрыва при линейными членами в левой части уравнения (5) можно пренебречь. тогда В приосевой области где

Выражение в фигурных скобках, как показано в гл. 1, положительно и имеет нуль первого при При малых х лева? часть выражения (11) отрицательна, а при х, близких к единице, , что соответствует источнику.

Определим угол раствора разделяющего конуса в двухъячеистом режиме по положению нуля правой части Поскольку вне малой окрестности примем при и при Физически это (оответству-ет тому, что к конусу снаружи подтекает из бесконечности: незакручениая жидкость, в то время как внутри конура сильным копвективный поток от источника обеспечивает постоянство циркуляции. Тогда согласно откуда Эта формула не пригодна для малых значений когда предположение при перестает быть справедливым.

Результаты этого раздела показывают, что размещение на оси источника или стока жидкости радикальным образом устраняет кризис потери существования решения. При сколь угодно малой обильности источника решение существует при всех значениях циркуляции на оси. В этом задача о вихрестоке существенно отличается от случая, рассмотренного Серрином [263], когда на оси допускается логарифмическая особенность продольной скорости. Если коэффициент при логарифмической особенности то и критическая циркуляция меняется незначительно. Размещение на оси стока жидкости может быть интерпретировано о физической точки зрения как внешнее следствие существования узои приосевой струи, эжектирующей окружающую жидкость.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление