Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Разделенные источники массы и момента импульса

Если источник жидкости размещать вдали от оси, например на пористой плоскости, перпендикулярной к вихревой линии, то кризис может, напротив, ужесточиться. Уравнение для функции тока в этом случае может быть записано в виде

и дополнено уравнениями (1) и (3). Здесь безразмерная обильность потока жидкости через кольцевую область на плоскости радиуса и единичной ширины. Продольная скорость на плоскости полагается равной нулю На оси ставятся условия

Априори естественно предположить, что вдув жидкости через плоскость усиливает конвекцию циркуляции к оси, и поэтому характерный для кризиса коллапс вращения будет происходить при меньших значениях Чтобы решить вопрос, будет ли убывать до нуля при увеличении до некоторого конечного значения рассмотрим сначала задачу при В этом случае уравнение (12) допускает аналитическое решение, аналогичное решению Яцеева — Сквайра:

Функция, стоящая в числителе, положительна и ограничена при конечных Знаменатель при также положителен на интервале но при достаточно большом значении х меняет знак. С ростом корень знаменателя приближается к Величина при которой он достигает определяется уравнением Оно получено приравниванием знаменателя в (13) нулю при и простыми тождественными преобразованиями. Функция имеет единственный нуль При имеет полюс на интервале (0,1) и регулярного решения не существует. В докритической ситуации около оси возникает сильная струя, и имеет приосевой пограничный слой. В критическом случае условие «стирается» и Функция хорошо приближается полипомом

Рис. 44.

Рис. 45.

Поскольку в критической ситуации происходит коллапс циркуляции, внешнее решение удовлетворяет уравнению, следующему из (12) при

Полагая уч интегрируя (14) от до и определяя из условия получаем зависимость

При больших отрицательных значениях из уравнения (14), пренебрегая линейными членами, получим

Это решение удовлетворяет условию но оно непродолжимо в область поскольку подкоренное выражение становится отрицательным. Это свидетельствует об отрыве, или, точнее, возникновении, восходящего течения у оси. Оно появляется при Рассмотрим пограничный слой вблизи оси. Введем новую переменную и обозначим После подстановки в (14) и устремления , получим

При согласно (15) В отличие от асимптотического решения оно неустойчиво, поэтому найдется единственное значение такое, что при Задача имеет аналитическое решение С учетом следующего члена разложения асимптотическая зависимость при для критической циркуляции имеет вид (см. рис. 44, штриховая линия). Ширина приосевой рециркуляционной зоны определяется корнем В критической ситуации асимптотическая зависимость имеет вид

или Рециркуляционная зона у оси существует при (см. рис 44,2). При до а при .

Рассмотренная в данном разделе задача решалась Нанбу [213] в приближении пограничного слоя вблизи плоскости. Он обнаружил, что при достаточно сильном отсосе решение существует, но оценка Нанбу области существования не согласуется с полученным здесь результатом —

Весьма своеобразный кризис происходит в задаче, где постановка, так сказать противоположна рассмотренной. Пусть на оси расположен источник жидкости, а на плоскости задана циркуляция. Граничные условия имеют вид

В случае стока величина определяется из требования ее ограниченности, а в случае источника является дополнительным свободным параметром. Систему уравнений (2.3), где удобно интегрировать от полагая и определять константы из условий При этом остаются свободными параметрами, а в результате интегрирования определяется Карта режимов приведена на рис. 45. Сплошная линия отвечает отрыву в области, лежащей между этой кривой и осью режим течения двухячеистый.

При (штриховая линия) происходит кризис. Решение, удовлетворяющее указанным граничным условиям, перестает существовать. Причины этого кризиса уже обсуждались в § 2. 2. Рассмотрим их более подробно. Уравнение для циркуляции можно переписать в виде

откуда При функция имеет интегрируемую особенность в точке поскольку ограничена. Поэтому, определяя можно удовлетворить условию С приближением величины к значению вблизи оси возникает пограничный слохг в распределении циркуляции, толщина которого при обращается в нуль, условие «стирается» и

Если смириться с тем, что условие не выполняется, то решение продолжается в область и с учетом уравнение для у принимает вид (2.22). Характер меридионального движения не зависит от и таков как в задаче о взаимодействии линейного стока с плоскостью без учета вращения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление